k2A=K,4/3=144/3=48 K3A=x7+x8+x9=57+62+64=183 k3A=K3/3=183/3=61 我们比较K1A、K2A、K3A时,可以认为B、C、D对K1A、K2A、K3A的影响是大体相 同的。于是,可以把K1A、K24、K34之间的差异看作是A取了三个不同水平引起的。 正交设计的整齐可比性 对于因素B 同理可以算出 K1B=x1+x2+x3=31+53+57=141 k1B=K1/3=141/3=47 K2B=x4+x+x6=54+49+62=165 K3B=x+x+x9=38+42+64=144 k3B=K3B/3=183/3=48 我们比较K1B、K2、K3B时,可以认为A、C、D对K1B、K2B、K3B的影响是大体相 同的。于是,可以把K1B、K2B、K3B之间的差异看作是B取了三个不同水平引起的 对于C与此同理 (1)确定因素的主次 将每列的k1、k2、k3中最大值于最小值之差称为极差 即:第一列(A因素)=k3-k1A=61-41=20 第二列(B因素)=k2B-k1B=55-47=8 三列(C因素)=k2C-k1C=57-45=12 影响大,就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差异大 直观看出:一个因素对试验结果影响大,就是主要因素 本例中:因素主次为A-C-B (2)确定各因素应取的水平 也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件 选取原则 (1)对主要因素,选使指标最好的那个水平 于是本例中A选A3,C选C2 (2)对次要因素,以节约方便原则选取水平 本例中B可选B2或者B1 于是用A3B2C2、A3BlC2各做一次验证试验,结果如下: 典型范例(1-3):2,4—二硝基苯肼的工艺改革 试验目的 24—_二硝基苯肼是一种试剂产品。过去的工艺过程长,工作量大且产品经常不合格。北 京化工厂改革了工艺采用24—二硝基氯化苯(以下简称氯化苯)与水合肼在乙醇作溶剂的条 件下合成的新工艺。小的试验已初步成功但收率只有45%,希望用正交试验法找出好的生产 条件达到提高生产效率的目的。 试验指标产率(%)与外观颜色。 制定因素水平表 2.选择合适的正交表 3.确定试验方案
6 k2 A = K2 A /3=144/3=48 K3 A = x7 + x8+ x9 = 57+62+64=183 k3 A = K3 A /3=183/3=61 我们比较 K1 A、 K2 A、K3 A 时，可以认为 B、C、D 对 K1 A、 K2 A、K3 A 的影响是大体相 同的。于是，可以把 K1 A、 K2 A、K3 A 之间的差异看作是 A 取了三个不同水平引起的。 ——正交设计的整齐可比性 对于因素 B 同理可以算出： K1 B = x1 + x2 + x3 = 31+53+57=141 k1 B = K1 B /3=141/3=47 K2 B = x4 + x5+ x6 =54+49+62=165 k2 B = K2 B /3=165/3=55 K3 B = x7 + x8+ x9 = 38+42+64=144 k3 B = K3 B /3=183/3=48 我们比较 K1 B、 K2 B、K3 B 时，可以认为 A、C、D 对 K1 B、 K2 B、K3 B 的影响是大体相 同的。于是，可以把 K1 B、 K2 B、K3 B 之间的差异看作是 B 取了三个不同水平引起的。 对于 C 与此同理 （1）确定因素的主次 将每列的 k1 、 k2 、k3 中最大值于最小值之差称为极差 即：第一列（A 因素）＝ k3 A－ k1 A＝61－41＝20 第二列（B 因素）＝ k2 B－ k1 B＝55－47＝8 第三列（C 因素）＝ k2 C－ k1 C＝57－45＝12 影响大，就是该因素的不同水平对应的平均收益率之间的差异大 直观看出：一个因素对试验结果影响大，就是主要因素 本例中：因素主次为 A-C-B （2）确定各因素应取的水平 也可以选取图形中最高的水平点得到最优生产条件： 选取原则： （1）对主要因素，选使指标最好的那个水平 于是本例中 A 选 A3，C 选 C2 （2）对次要因素，以节约方便原则选取水平 本例中 B 可选 B2 或者 B1 于是用 A3B2C2、A3B1C2 各做一次验证试验，结果如下： 典型范例（1－3）：2,4—二硝基苯肼的工艺改革 试验目的: 2,4—二硝基苯肼是一种试剂产品。过去的工艺过程长,工作量大且产品经常不合格。北 京化工厂改革了工艺,采用 2,4—二硝基氯化苯(以下简称氯化苯)与水合肼在乙醇作溶剂的条 件下合成的新工艺。小的试验已初步成功,但收率只有 45%,希望用正交试验法找出好的生产 条件,达到提高生产效率的目的。 试验指标:产率(%)与外观颜色。 1. 制定因素水平表 2. 选择合适的正交表 3. 确定试验方案
将本试验的6个因素及相应水平按因素顺序上列、水平对号入座原则排入L8(2)表中前 6个直列。试验方案如下表1-9。 4结果分析 (1)直接看,可靠又方便 (2)算一算,重要又简单 (3)可能好配合 A2BIC2D2E2F2 5第二批撒小网 在第一批试验的基础上为弄清产生不同颜色的原因及进一步如何提高产率,决定再撒个 小网。做第二批正交试验 (1)制定因素一水平表 对最重要的因素B,应详加考察,从趋势上看,随水合肼用量的增加产率提高。现决定在好 用量两倍的周围,再取1.7倍与23倍两个新用量继续试验——这即是有苗头处着重加密原 (2)利用正交表确定试验方案 (3)试验结果的分析 投产效果是平均产率超过80%,从未出现过紫色外形,质量达到出口标准。总之,这是 个最优方案达到了优质、高产、低消耗的目的。 下面将正交试验法的一般步骤小结如下 第一步明确试验目的,确定试验指标 第二步:确定因素一水平表后,选择合适的正交表进而确定试验方案 第三步:对试验结果进行分析,其中有: (1)直接看 (2)算一算 (I)各列的K、k和R计算 R(第j列)=第j列中的kl、k2…中最大的减去最小的差。 (Ⅱ)画趋势图(指标一因素图) 对于多于两个水平的因素画指标一因素图。 (Ⅲ)比较各因素的极差R排出因素的主次。 (3)选取可能好的配合 综合直接看与算一算这两步的结果,并参照实际经验与理论上的认识选取可能好的配 若所选取的可能好的配合在正交试验中没有出现过则需做验证试验 S1-11试验 §1-4有交互作用的正交试验 一、交互作用 有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响,我们称这种联合作用为交互作用 例:考虑氮肥(N)和磷肥(P)对豆类增产的效果 正交表交互作用表的使用(以L8(27)为例) 、关于自由度和正交表的选用原则 选表必须遵循一条原则 要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所选用正交表的总自由度
7 将本试验的 6 个因素及相应水平按因素顺序上列、水平对号入座原则,排入 L8(27 )表中前 6 个直列。试验方案如下表 1－9。 4.结果分析 (1) 直接看,可靠又方便 (2) 算一算,重要又简单 (3) 可能好配合 A2B1C2D2E2F2。 5 第二批撒小网 在第一批试验的基础上,为弄清产生不同颜色的原因及进一步如何提高产率,决定再撒个 小网。做第二批正交试验。 (1) 制定因素—水平表 对最重要的因素 B,应详加考察,从趋势上看,随水合肼用量的增加产率提高。现决定在好 用量两倍的周围,再取 1.7 倍与 2.3 倍两个新用量继续试验——这即是有苗头处着重加密原 则。 （2）利用正交表确定试验方案 （3） 试验结果的分析 投产效果是:平均产率超过 80%,从未出现过紫色外形,质量达到出口标准。总之,这是一 个最优方案,达到了优质、高产、低消耗的目的。 下面将正交试验法的一般步骤小结如下: 第一步:明确试验目的,确定试验指标。 第二步:确定因素—水平表后,选择合适的正交表,进而确定试验方案。 第三步:对试验结果进行分析,其中有: (1)直接看 (2)算一算 (Ⅰ)各列的 K、k 和 R 计算 R(第 j 列)=第 j 列中的 k1、k2…中最大的减去最小的差。 (Ⅱ)画趋势图(指标—因素图) 对于多于两个水平的因素画指标—因素图。 (Ⅲ)比较各因素的极差 R,排出因素的主次。 (3)选取可能好的配合 综合直接看与算一算这两步的结果,并参照实际经验与理论上的认识选取可能好的配 合。 若所选取的可能好的配合在正交试验中没有出现过,则需做验证试验。 §1-11 试验 §1-4 有交互作用的正交试验 一、交互作用 有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，我们称这种联合作用为交互作用。 例：考虑氮肥（N）和磷肥（P）对豆类增产的效果 正交表交互作用表的使用（以 L8 (27 )为例） 二、关于自由度和正交表的选用原则 选表必须遵循一条原则： 要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所选用正交表的总自由度
自由度的两条规定 (1)正交表的总自由度fa=试验次数-1:正交表每列的自由度fw=此列水平数-1 (2)因素A的自由度fA=因素A的水平数一1: 因素A、B间交互作用的自由度fAxB=fA×fB 三、有交互作用的正交试验及结果分析 例1-4乙酰胺苯磺化反应试验 试验目的:提高乙酰胺苯的产率 自由度考虑:4因素及交互作用AXB、A×C,总自由度数=4×1+2×1=6而Lg(27) 共有8-1=7个自由度,可以安排 表头设计 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列,得到试验设计表的过程 (1)考虑交互作用的因素A和B,将A放第1列,B放第2列。则由L(27)的交互作 用表查得A×B在第3列 (2)考虑要照顾到交互作用的因素C,将C放在第4列,此时AXC由L8(27)的交互 作用表查得占第5列,第6、7列为空,D可排其中任意一列,我们将其排在第6列。则: 这样就产生了混杂,是不合理的 4因素及6个交互作用,自由度总和为4×1+6×1=10,而L8(27)表却只有8-1=7 个自由度,容纳不下,只能选用更大正交表的L6(215)来做表头设计,如下所示 两点启示: (1)在安排表头时,应使要考虑的交互作用和因素不致发生混杂; (2)对试验结果的数据进行计算后,在优选各个因素的水平时,有交互作用的因素, 他们的水平不能单独考虑,必须用二元表和二元图进行综合考虑。 (三)交互作用在试验中的地位 第二章正交试验结果的统计分析方法 §2-1试验数据结构模型 单因素试验方差分析的数学模型 (一)数学模型 设因素A去了p个水平,每个水平重复了r次试验。则水平A下j次试验 结果可以分解为 11+E 式中:1A水平真值 1数据中包含的误差值
8 自由度的两条规定： （1）正交表的总自由度 f 总 ＝试验次数－1；正交表每列的自由度 f 列＝此列水平数－1 （2）因素 A 的自由度 fA ＝因素 A 的水平数－1； 因素 A、B 间交互作用的自由度 fAxB ＝ fA×fB 三、有交互作用的正交试验及结果分析 例 1-4 乙酰胺苯磺化反应试验 试验目的：提高乙酰胺苯的产率 自由度考虑：4 因素及交互作用 A×B、A×C，总自由度数＝4×1＋2×1＝6。而 L8 (27 ) 共有 8－1＝7 个自由度，可以安排 表头设计： 把需要试验的各因素的各水平安排入正交表内一定列，得到试验设计表的过程 （1）考虑交互作用的因素 A 和 B，将 A 放第 1 列，B 放第 2 列。则由 L8(27 )的交互作 用表查得 A×B 在第 3 列 （2）考虑要照顾到交互作用的因素 C，将 C 放在第 4 列，此时 A×C 由 L8(27 )的交互 作用表查得占第 5 列，第 6、7 列为空，D 可排其中任意一列，我们将其排在第 6 列。则： 这样就产生了混杂，是不合理的 4 因素及 6 个交互作用，自由度总和为 4×1＋6×1＝10，而 L8 (27 )表却只有 8－1＝7 个自由度，容纳不下，只能选用更大正交表的 L16 (215)来做表头设计，如下所示 两点启示： （1）在安排表头时，应使要考虑的交互作用和因素不致发生混杂； （2）对试验结果的数据进行计算后，在优选各个因素的水平时，有交互作用的因素， 他们的水平不能单独考虑，必须用二元表和二元图进行综合考虑。 (三)交互作用在试验中的地位 第二章 正交试验结果的统计分析方法 §2-1 试验数据结构模型 一、单因素试验方差分析的数学模型 （一）数学模型 i ij i ij i i ij ______ A p r A j X (2 1 1) A − − ______ 设因素 去了 个水平，每个水平重复了 次试验。则水平 下 次试验 结果可以分解为： ＝ ＋ 式中： 水平真值； 数据中包含的误差值
规律表现在: (1)E正的和负的个数差不多,多个的平均近于零; (2)误差小的比误差大的多; (3)不同试验之间,误差的大小是不相关的,即E之间是彼此独立的 用一句话来说,E是相互独立的随机变量。遵从正态分布N(A,σ2) 式(2-1-1)中和E都是未知的。而真值x可表达为 式中 μ称为一般平均。a是4对于p的偏移,为A的水平效应或主效应。 所以把理解为 (一般平均)+(A,平均效应) +a1+E 2,……,p 即:X=(一般平均)+(A平均效应)+(误差) 显然an}之间有关系∑a1=0 2-1-4 表示水平A对试验结果产生的影响 方差分析的数学模型的几条偃定 C1) a:十∥ (3)E,是相独立且遵从正态分布N<∠,2 由这三条建的模型叫做线性模型 建立数学模型后,统计分析需要解决两个题 (1)参数佔讠 2)统计橙马
9 ij ij ij i ij i i i i 1 1 N ( ) (2 1 2) 1 i p i i a p a = = + − = + − − = = 2 规律表现在： （） 正的和负的个数差不多，多个的平均近于零； （2）误差小的比误差大的多； （3）不同试验之间，误差的大小是不相关的，即 之间是彼此独立的。 用一句话来说， 是相互独立的随机变量。遵从正态分布 （ ， ） 式(2-1-1)中 和 都是未知的。而真值 可表达为： 式中 i − =i 1,2,......,p i i i i i i i p i i i=1 i i a A A X a 1,2,......, (2 1 3) A a a 0 (2 1 4) a ____ A ij ij ij i p X = + + = − − = = − − 称为一般平均。 是 对于 的偏移，为 的水平效应或主效应。 所以把 理解为： （一般平均）＋（ 平均效应） 即： （一般平均）＋（ 平均效应）＋（误差） 显然{ }之间有关系 表示水平 对试验结果产生的影响。 i p i i=1 ij X a 1,2,......, j 1,2,......,r 2 a 0 3 N ij ij i p = + + = = = 2 方差分析的数学模型的几条假定 （1） （ ） （ ） 是相互独立且遵从正态分布 （ ， ） 由这三条建立的模型叫做线性模型 建立数学模型后，统计分析需要解决两个问题 （1）参数估计 （2）统计检验
x是的一个无偏佔计量,记作 2-1-8) a的无偏佔计是x-x 即a1=x1-x (2-1-9) 于是(2-1-3)可以改写为:x1=+a+l (2-1-10) 式中l反映了误差 根据(2-1-10)对试验数据进行分解,通过数据的分解可看出 水平效应和误差大小 例2一1考察温度对一化工产品的得率的影响,选了五种不同的温度,同一温度做了 次试验,结果如下: 对其它数据也进行类似分解,通过对数据的分解,可以看到分组因素(温度)影响的 大小和试验误差的大小 因 移项 (2-1-11) 上式说明,测量值与总平均的变差,是组平均值与总平均值 之变差已经测量值与组平均值之变差的和 (三)统计检验 如果统计假设是对的,即因素A对测量指标没有影响,则效应 {a}全为零。设为统计假设H 1、组内变差平方和的平均值: )2 组内平方和 组内差方和的平均值 14) Se又称为组内均方
10 例 2－1 考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了 三次试验，结果如下： 对其它数据也进行类似分解 ，通过对数据的分解，可以看到分组因素（温度）影响的 大小和试验误差的大小。 （三）统计检验 _ _ _ _ _ _ i 2 1 8 a (2 1 9) (2 1 10) i i i i ij ij x x x x a x x a l l = − = − − − ij = + + − − 是 的一个无偏估计量，记作 （ －－ ） 的无偏估计是 即 于是(2-1-3)可以改写为： x 式中 反映了误差 根据(2-1-10)对试验数据进行分解，通过数据的分解可看出 水平效应和误差大小。 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 11) ij ij i ij i i i ij x a l x x x x x x x x x x x x = + + = + − + − − = − + − − − ij ij ij 因： 即： 移项： 上式说明，测量值与总平均的变差，是组平均值与总平均值 之变差已经测量值与组平均值之变差的和。 _ 2 1 1 _ _ A H ( ) (2 1 13) _____ / ( 1) (2 1 14) p r ij i i j x x Se p r = = = − − − = − − − i 0 如果统计假设是对的，即因素 对测量指标没有影响，则效应 {a }全为零。设为统计假设 1、组内变差平方和的平均值： Se Se 组内平方和 组内差方和的平均值 Se Se又称为组内均方