特性2 设对某一流动,存在势函数x,y流动的角速度投影 类似的推出 可见,流场存在速度势函数则流动无旋,因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在
特性2 设对某一流动，存在势函数 ，流动的角速度投影 类似的推出 可见，流场存在速度势函数则流动无旋，因此流动无旋 的充分必要条件势流场有速度势函数存在。 y =z = 0 2 2 1 1 ( ( ) ( )) ( ) 0 2 2 x y z z y y z z y = − = − = ( , , ) x y z
特性3 等势面:速度势函数取同一值的点构成流动空间一个连续曲面 在等势面上取一点A,并在该面上过A任取一微元矢量dl dl=dxi+dyj+dzk 求d与点A处速度v的标量积。 dI·dv (dxi+dyj+dzk(v i+vj+v k) v、dx+vdy+vd=d 由于在同一等势面上,d=0这说明与正交在等面 上的位置事实上是任意的,因此,在A点与等势面正交。通过A点 的流线与A点处速度矢量相切,由此可以得到流线与等势面正交的结 论
特性3 等势面：速度势函数取同一值的点构成流动空间一个连续曲面。 在等势面上取一点A，并在该面上过A任取一微元矢量 求 与点A处速度 的标量积。 由于在同一等势面上， 。这说明 与 正交。 在等势面 上的位置事实上是任意的，因此， 在A点与等势面正交。通过A点 的流线与A点处速度矢量相切，由此可以得到流线与等势面正交的结 论。 dl = dxi + dy j+ dzk dl v dl dl = + + = = + + + + v dx v dy v dz d (dxi dy j dzk)(v i v j v k) dl dv x y z x y z d = 0 v dl v
给定一无旋场速度投影的欧拉表达式后,势函数可以通 过积分式(65)获得。由于有势流动速度的三个投影量 满足关系式(64),式(65)右端积分结果与所选路 径无关。为此,可选择一最简单的折线连接给定任意起 点(xy与终点积分结果是的xy 函数,即势函数。随初始点选择不同,结果中的常数项 是不一样的,但这并不影响势函数的性质,势函数加减 一常数后仍然是势函数
给定一无旋场速度投影的欧拉表达式后，势函数可以通 过积分式（6.5）获得。由于有势流动速度的三个投影量 满足关系式（6.4），式（6.5）右端积分结果与所选路 径无关。为此，可选择一最简单的折线连接给定任意起 点 与终点 ，积分结果是 的 函数，即势函数。随初始点选择不同，结果中的常数项 是不一样的，但这并不影响势函数的性质，势函数加减 一常数后仍然是势函数。 ( , , ) x y z 0 0 0 ( , , ) x y z x y z ,
例6.1一平面定常不可压缩流动的流线为通过原点的向 外发射的射线,速度大小v反比于这点到原心距离r即 V=q^是正常数)。证明这一流动是有势的,求解 势函数,并证明所得势函数是一调和函数。 解:在图中,平面上任一点A到原心距离为r,通过这点的射线与x轴 正向夹角为a设A点的直角坐标为 y 显然 rTx +y sin 0=y/r e。A点处速度矢量与通过A点流线相切, 也沿径向,其大小,=q那以得到速度在Xy轴的投影表达 2 2丌x+y 2rnSin0-g 2
例6.1 一平面定常不可压缩流动的流线为通过原点的向 外发射的射线，速度大小v反比于这点到原心距离r,即 （q是正常数）。证明这一流动是有势的，求解 势函数，并证明所得势函数是一调和函数。 解：在图中，平面上任一点A到原心距离为r，通过这点的射线与x轴 正向夹角为 。设A点的直角坐标为 ，显然 ， ， 。A点处速度矢量与通过A点流线相切， 也沿径向，其大小 。可以得到速度在x, y轴的投影表达： v = q/ 2r x y, 2 2 2 r x y = + sin / = y r cos / = x r v q r = / 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 x y q qx q x v r r x y q q y q y v r r x y = = = + = = = + y A x θ v o vy x
由于 丌(x-+ 因此满足方程(64),流动是有势的。 在利用方程(6.5)求解势函数时,由于方程右端积分与积分路线无 关,因此选择通过(0,1),(x1,0),(x1,y1)三点的简单折 线进行积分,在运算中,应将(x1y1)视为常数。 x1,y vxd+ydy dy) 2丌 x +y ln√xr2+ yI 丌
由于 因此满足方程（6.4），流动是有势的。 在利用方程（6.5）求解势函数时，由于方程右端积分与积分路线无 关，因此选择通过（0，1），（x1，0），（x1，y1）三点的简单折 线进行积分，在运算中，应将（x1 ,y1）视为常数。 2 2 2 ( ) v v qxy x y y x x y = = − + 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1,0 1,0 1 1 , , ( ) 2 ln ln1 2 2 x y x y x y q x y v dx v dy dx dy x y x y q q x y = + = + + + = + −