、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1如何求等差数列前n项和的最值?
一 二 二、等差数列前n项和的最值 【问题思考】 1.如何求等差数列前n项和的最值?
提示1)在等差数列{a1中,当>0d0时前n项和S有最小值S (2)在等差数列(n}中,当a1<0,d<0时,前n项和Sn有最大值S; (3)在等差数列(n}中,当1>0d<0时,前n项和S有最大值,S取得 最大值的n的值可由不等/n≥Q, 4+1≤0 (4)在等差数列(m}中,当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值Sn取得 最小值的n的值可由不等式忽/"≤0 确定 +1 5由于等差数列(a的前n项和Sm1=7+(a-分因此 从二次函数的角度看当d>0时Sm有最小值;当d0时,Sn有最大值; 且当n取最接近对应函数图象对称轴的正整数时S取得最值 6对于公差不为0的等差数列(n}使得其前n项和S取得最值的n 的值可能有1个或2个
提示(1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d>0 时,前 n 项和 Sn有最小值 S1; (2)在等差数列{an}中,当 a1<0,d<0 时,前 n 项和 Sn有最大值 S1; (3)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,前 n 项和 Sn有最大值,Sn取得 最大值的 n 的值可由不等式组 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑎𝑛+1 ≤ 0 确定; (4)在等差数列{an}中,当 a1<0,d>0 时,前 n 项和 Sn有最小值,Sn取得 最小值的 n 的值可由不等式组 𝑎𝑛 ≤ 0, 𝑎𝑛+1 ≥ 0 确定. (5)由于等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d=𝑑 2 n 2 + 𝑎1 - 𝑑 2 n,因此 从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn有最小值;当 d<0 时,Sn有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个
2做一做 )等差数列{an中an=2-3n则当其前n项和S;取最大值时n的值 等于 (2)已知数列{an}的前n项和S=n248则S的最小值为 解析(1)由已知当n<7时计,a20a1=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时n的值为6或7 (282-48=(24)-576 ∈N,当n24时S1有最小值576 答案(1)6或7(2)-576
2.做一做: (1)在等差数列{an}中,an=21-3n,则当其前n项和Sn取最大值时,n的值 等于 . (2)已知数列{an}的前n项和Sn=n2 -48n,则Sn的最小值为 . 解析(1)由已知,得当n<7时,an>0,a7=0,当n>7时,an<0,所以当Sn取最 大值时,n的值为6或7. (2)Sn=n2 -48n=(n-24)2 -576. ∵n∈N* ,∴当n=24时,Sn有最小值-576. 答案(1)6或7 (2)-576
判断下列说法是否正确正确的在后面的括号内画“√”,错误的 画“Ⅹ (1若等差数列的前n项和为Sn则S2m1=2n+1an() 2若等差数列{a共有20项则56=9a10.() 3)若等差数列(a的前n项和为Sn则S5S05S5也成等差数列、() 4若无穷等差数列{a的公差0>0则其前n项和Sn不存在最大 值 5若数列(a为等差数列,则数列{an}-定不是等差数列.() 答案(X(2)X(3)X(4(5)X
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√” ,错误的 画“×”. (1)若等差数列{an }的前n项和为Sn ,则S2n+1=(2n+1)an . ( ) (2)若等差数列{an }共有20项,则S奇S偶=a9a10. ( ) (3)若等差数列{an }的前n项和为Sn ,则S5 ,S10,S15也成等差数列.( ) (4)若无穷等差数列{an }的公差d>0,则其前n项和Sn不存在最大 值. ( ) (5)若数列{an }为等差数列,则数列{|an |}一定不是等差数列. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
1123 【例1】导学号0499061在等差数列{an}中,为其前n项和若 a6+a83+a0=33则S5= (2设Sn为等差数列{a}的前n项和若S3=9,8=35,则 3)等差数列{a}与{b的前n项和分别是S和nm已知=m则 1+3 思路分析运用等差数列前n项和的性质解决问题
1 2 3 【例 1】 导学号 04994036(1)在等差数列{an}中,Sn为其前 n 项和.若 a6+a8+a10=33,则 S15= ; (2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=9,S6=36,则 S9= ; (3)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别是 Sn和 Tn,已知𝑆𝑛 𝑇𝑛 = 7𝑛 𝑛+3 ,则 𝑎5 𝑏5 = . 思路分析运用等差数列前 n 项和的性质解决问题