匚明确辨识目的 收集先验知识 设计辨识试验 现场准备 数据采集 数据预处理 选择模型类 结构辨识 参数估计 不通过 模型检验 分析问题 通过 模型转换 不成功 应用评价 分析问题 成功 最终模型 系统辨识一般流程
明确辨识目的 收集先验知识 设计辨识试验 现场准备 数据采集 数据预处理 选择模型类 结构辨识 参数估计 不通过 模型检验 分析问题 通过 模型转换 不成功 应用评价 分析问题 成功 最终模型 系统辨识一般流程
第二讲辨识三要素 数据 本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法 随机过程X(t):在每一个时间点(t0)上,都是一个随机变量,其概率密度函数px)随时间变 平稳随机过程:在所有时间点上,概率分布都相同的随机过程,其概率密度函数p(x)不随时间 各态遍历平稳随机过程:从整个时间轴上看,每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密 度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均 数字特征 [特征「随机过程 平稳随机过程「各态遍历平稳随机过程 12(D)≡H2 均值 期望|() 2()=H2 L x(odt x(k) (1)=v2 均方 2|=Lm2 Lim∑x(k) 方差/()=Ex(0)-2()3 2(t)≡O LimT J[x()-u, 【x-、O)p(x) Limx∑[x(k) 关函R(42)=E{x(4)() R2(z)=R(-r) 数 R(02-1)
第二讲 辨识三要素 一、数据 本节介绍辨识数据的特点及获得适宜辨识的数据的方法。 随机过程 X(t):在每一个时间点（t0）上，都是一个随机变量，其概率密度函数 p(x,t)随时间变 化。 平稳随机过程：在所有时间点上，概率分布都相同的随机过程，其概率密度函数 p(x)不随时间 变化。 各态遍历平稳随机过程：从整个时间轴上看，每个随机事件都会发生的平稳随机过程。其谱密 度函数与概率密度函数类似。时间平均等于集合平均。 数字特征 特征 随机过程 平稳随机过程 各态遍历平稳随机过程 均值 (期望 值) − t = xp x t dx x ( ) ( , ) x x (t) t x x ( ) x = → − = T T T x t dt T Lim ( ) 2 1 = → = N N k x k N Lim 1 ( ) 1 均 方 值 t x p x t dx x ( ) ( , ) 2 2 − = 2 2 ( ) x x t ( ) 2 ___ 2 2 x x x t = → − = T T T x t dt T Lim ( ) 2 1 2 = → = N N k x k N Lim 1 2 ( ) 1 方差 ( ) {[ ( ) ( )] } 2 2 t E x t t x = − x x t p x t dx x [ ( )] ( , ) 2 − = − 2 2 ( ) x x t = 2 x → − − T T x T x t dt T Lim 2 [ ( ) ] 2 1 = → = − N N k x k x N Lim 1 2 [ ( ) ] 1 自 相 关 函 数 ( , ) { ( ) ( )} 1 2 1 2 R t t E x t x t x = Rx (t 1 ,t 2 ) = (0, ) 2 1 R t t = x − ( ) = (− ) Rx Rx
=R(r) ∫xP2(xx x(Ox(t+ r)dt 1, t2 )dx, dx, Lim∑x(k)x(k+1) lim x(k)x(k +7) C(r)=C(-z) [x(n)-1]* C(t1212)=E{x(1)-2(t1) C:(t1,12) 协方[x(2)-(t2) [x(t+r)-1d =C2(0,12-1) 差函 c)-x)-|=R(-2|-mN2)=对 C(r) [x(k+)-x 2(t2)P2(x1,x2;t1,t2)hx1x2 Li Lx(k+D)-x v2(D)=R2(t,1) 2=R1() v2=R、(O) a2(1)=v2()-2(t) or=vr-Ax x2(k) 关系 R(,1)-2(t) =R2(0)-2 C(1,12)=R2(t1,12) C(T) 2(1)42(12) C(r=R(T)-x R2(r)-4 Ry(r) 互相n(,4)=Ex(4)y() Rn(4,4) 727」x(1)y(t+r)dr Lim 数 J xyp2(x, y, 1, l2)rdy R,(T=t2-t1)=Lim>x(k)y(k+D) Lim N-I kel x(ky(k+D) → Cxn(t1,12)=E{[x(1)- Cn(t)= 互协|H1()y(2)-H,(2) 方差 C,([=t-4) Lim[x()-u,]* 函数 [x-H2(t1)[y- T→∞ u,(t,)p,(x,y t,, t, )dxdy =R2()up|u+)-
1 2 1 2 1 2 2 1 2 , ) ( , ; t t dx dx x x p x x − − = ( ) = R x = → − + TT T x t x t dt T Lim ( ) ( ) 21 = → = + N N k x k x k l N Lim 1 ( ) ( ) 1 − → = + − = N l N k x k x k l N l Lim 1 ( ) ( ) 1 协 方 差 函 数 [ ( ) ( )]} ( , ) {[ ( ) ( )] * 2 2 1 2 1 1 x t t C t t E x t t x x x − = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( )] ( , ; , ) [ ( ) ( )][ ( ) t p x x t t dx dx x t t x t x x − − = − − C x ( t 1 , t 2 ) = ( 0 , ) 2 1 C t t = x − ( ) ( ) 2 xx x CR == − ( ) = ( − ) Cx Cx = x t dt x t T x TT x T Lim [ ( ) ] [ ( ) ] * 21 + − − → − = [ ( ) ][ ( ) ] * 1 1 x k l x x k x N N N k Lim+ − − → = = [ ( ) ] [ ( ) ] * 1 1 x k l x x k x N l N l N k Lim+ − − − − → = 一 些 关系 ( ) ( , ) 2 t R t t x = x ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 R t t t t t t x x x x x = − = − ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 1 2 t t C t t R t t x x x x = − ( 0 ) 2x R x = 2 2 2 2 ( 0 ) x x x x x R = − = − 2 ( ) ( ) x x x RC −= ( 0 ) 2 x = R x = → =N N k x k N Lim 1 2 ( ) 1 2 2 R ( 0 ) x x = x − 2 C ( ) R ( ) x x = x − 互 相 关 函 数 ( , ) { ( ) ( )} 1 2 1 2 R t t E x t y t xy = xyp ( x, y;t ,t )dxdy 2 1 2 − − = ( ) ( , )2 1 1 2 R t t R t t xy xy = −= Rxy ( ) = → − + TT T x t y t dt T Lim ( ) ( ) 21 = → = + N N k x k y k l N Lim 1 ( ) ( ) 1 = − → = + − N l N k x k y k l N l Lim 1 ( ) ( ) 1 互 协 方 差 函数 ( )][ ( ) ( )]} ( , ) {[ ( ) 1 2 2 1 2 1 t y t t C t t E x t x y xy − = − t p x y t t dxdy x t y y x ( )] ( , ; , ) [ ( )][ 2 2 1 2 1 − − = − − xy x y xy xyR C t t C t t = − = −= ( ) ( ) ( , )2 1 1 2 Cxy ( ) = y t dt x t T y TT x T Lim [ ( ) ] [ ( ) ] * 21 + − − → −
Rn(1,12)-H2(41)4,(t2) LmN()-对 Lk+D-yl Lim Lx(k)-xl Lk+0)-y Rx,(r)=R1(-r) 其它 C(r=C-r 说明:离散计算时假设采样时间间隔为To,则时延τ=l*T 相关函数的性质 v2=R1(O)≥0 2R2(z)=R1(-r) 3R2(O)2R2(z) 4若x(t)是周期为T的信号,则其自相关函数也是周期为T的信号。即: x()=x(+门)→R2(z)=R2(r+T) 5若xt)=yt+z(t),且yu)与z(1)互不相关(R2(r)=0),则 R2(r)=R,(r)+R:(r 6若x(t)=y(t)+z,其中j=0,z是一个常数,则 R(r)=R,(r)+z2 7若x(t)均值为零,且不含有周期性成分,则当τ很大时,x(t)与x(t+t)必然是互相独立的(不 相关,因此,R2(z)=0,τ充分大 8若xt)均值为零,则C(r)=R2()。这是因为在通常情况下,Cx(z)等于R2(r)向下平移 因此,当山2=0时,两者相等 9对于线性系统y(k=G(z)u(k),有R2(r)=G(=)R2(r)
( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 R t t t t = xy − x y = [ ( ) ] [ ( ) ]* 1 1 y k l y x k x N N N k Lim + − − → = = [ ( ) ] [ ( ) ]* 1 1 y k l y x k x N l N l N k Lim + − − − − → = 其它 ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − xy yx xy yx C C R R 说明：离散计算时假设采样时间间隔为 To，则时延τ=l *To。 相关函数的性质 1 (0) 2 x = Rx ≥0 2 ( ) = (− ) Rx Rx 3 (0) | ( ) | Rx Rx 4 若 x(t)是周期为 T 的信号，则其自相关函数也是周期为 T 的信号。即： x(t) x(t T) R ( ) R ( T) = + x = x + 5 若 x(t)=y(t)+z(t)，且 y(t)与 z(t)互不相关（ Ryz ( ) 0 ），则 ( ) ( ) ( ) Rx = Ry + Rz 6 若 x(t)=y(t)+z，其中 y = 0，z 是一个常数，则 2 R ( ) R ( ) z x = y + 7 若 x(t)均值为零，且不含有周期性成分，则当τ很大时，x(t)与 x(t+τ)必然是互相独立的（不 相关），因此， Rx ( ) = 0 ，τ充分大。 8 若 x(t)均值为零，则 ( ) ( ) Cx = Rx 。这是因为在通常情况下， ( ) Cx 等于 ( ) Rx 向下平移 2 x ， 因此，当 2 x =0 时，两者相等。 9 对于线性系统 y(k)=G(z)u(k)，有 ( ) ( ) ( ) yu Ru R = G z
10虽然x(t)是个随机过程,但R2(r)却不是随机过程,而是一个确定性的时间函数 Parseval定理与功率谱 Pd定理:确定性信号x0的总能量为:xo=X(o)do 确定性信号ⅹ(t)的平均功率: LimTI C Lim3 ll X,(jo) do 确定性信号x(t)的平均谱密度 S(o)=Lim‖X(o)2 随机性信号ⅹ(t)的平均谱密度: S,(o)=Lim EllY,(o)') 维纳一肯塔金关系式: 随机过程x(t)的谱密度S2(o)与自相关函数R2(r)构成一组傅立叶变换对: S,(o)=R,(r)e edr S(oe/do 定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换: S,(jo)=R,(r)e"ordr R,(r)=LS,()elo do 应用维纳一肯塔金关系式,可以证明,对于频率响应为G(j)的线性系统,在随机输入下的输 出谱密度和互谱密度分别为: S(o)圳G(o)‖"S2(o) Sx(0)=G()S2(c)
10 虽然 x(t)是个随机过程，但 ( ) Rx 却不是随机过程，而是一个确定性的时间函数。 Parseval 定理与功率谱 Parseval 定理：确定性信号 x(t)的总能量为： − − = x t dt X j d 2 2 || ( ) || 2 1 ( ) 确定性信号 x(t)的平均功率： X j d T x t dt T T T T T T Lim Lim 2 2 || ( ) || 2 1 2 1 ( ) 2 1 − → − → = 确定性信号 x(t)的平均谱密度： 2 || ( ) || 2 1 () X j T S T T x Lim → = 随机性信号 x(t)的平均谱密度： {|| ( ) || } 2 1 ( ) 2 E X j T S T T x Lim → = 维纳—肯塔金关系式： 随机过程 x(t)的谱密度 () Sx 与自相关函数 ( ) Rx 构成一组傅立叶变换对： R S e d S R e d j x x j x x − − − = = ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 定义互谱密度为互相关函数的傅立叶变换： R S e d S j R e d j xy xy j xy xy − − − = = ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 应用维纳—肯塔金关系式，可以证明，对于频率响应为 G( j) 的线性系统，在随机输入下的输 出谱密度和互谱密度分别为： ( ) ( ) ( ) ( ) || ( ) || ( ) 2 xy x y x S j G j S S G j S = =