一种恢复数字化畸变凸性图像的算法

D0I:10.13374/i.issn1001053x.2001.06.027 第23卷第6期 北京科技大学学报 Vol.23 No.6 2001年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2001 一种恢复数字化畸变凸性图像的算法 闵乐泉 张晓丹 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘要介绍了一种恢复数学化畸变凸性俐像的算法一增强算子.讨论该方法增强和恢复被 高斯噪声畸变的凸性数字化俐像的原理.并通过计算机模拟实例验证了增强算子处理畸变凸 性数字化像点的有效性.该方法已用于处理Al-Mn-Si准晶的数字化高分辨电子显微镜(HREM) 像，揭示了HREM像中的周期性特征 关键词数字化图像：恢复凸性：计算机模拟：准品 分类号TP391.4:0469 高分辨电子显微镜(HREM)像是研究20面 片.也就是说，在理想（未被扰动的）的照相图片 体准晶(QC's)山.列的有力上具.20面体QC's的 中，每一个亮斑均为凸性物体.特别它可以是一 HREM象普遍被解释为Penrose(广义Penrose)镶 个圆，称此亮斑为像点.为了引入和解释增强算 嵌I.然而已经发现Penrose镶嵌很难解释A 子，首先回忆若干术语 Mn-SiQC(见文献[I])的HREM像：所谓的QC's 假设一幅照相图片用扫描仪以适当的精度 可以解释为被扰动的周期性结构”.凸性是许 所“测量”，则相应的数字化像（通过扫描仪所记 多晶体的HREM像中亮斑的基本特点，在图像 录且用G表示该数字化像)中的x和y轴线量化 中亮斑的分布展现出周期性的排列，代表着相 为正方形图像元素一像素.这些像素处所赋 应晶体的原子（原子团）柱的投影势能.然而有 予的数值系图像的灰度.在第（个像素（第i行， 时Guassian噪声会使晶体HREM像中的亮斑变 第j列)处所产生的图像函数用)表示.每一 成模糊不清晰的，扰动了的物像.人们期望能有 个值∫(：)（即灰度）是一个整数，它满足 一种算法将一幅被扰动的像精确地恢复为未被 0≤f八)≤255，灰度i,)正比于该数字化图像中 扰动的原像.不幸地是，在一般图像处理的场合 位于或接近()处的相应像点的亮度. 不存在有这样一种重构算法.因此如果一幅 根据预先指定的灰度g,数字化像点（见图 具有某种缺陷的复杂晶体结构的HREM像被噪 I(a)》可以得到确定.这意指每一个理想像点的 声所严重地扰动，则不能直觉地认识到这种变 边界应由其有灰度g的像素所组成.因此可称 形的像本质上具有周期性的特征.一般地说，人 这一预先指定的灰度g为边界灰度.一幅选取 们期望一种恢复数字化畸变凸性图像的方法以 边界灰度g的二值图像是这样的图像：如果原 部分地解决上述问题.本研究介绍一种称之为 始图像中一个像素的灰度小于g,则令其二值图 增强算子的算法，用来处理具有凸性像点特征 像中相应像素的灰度值为0，否则令相应像素的 的数字化的照片，该算法曾在早先的短文中未 灰度为255.显然如果一个预定的边界灰度太 加证明地给出.本文将讨论增强算子的原理. 低，则相应的二值图像中某些相邻像点将相互 利用计算机模拟处理被高斯噪声忧动的数字化 重叠.另一方面，如果一个预定的边界灰度太 圆和椭圆，进一步确认算法的有效性. 高，则相应的二值图像中某些像点将消失，实际 上的数字化图像可被假设为一个二维离散随机 1增强算子 场一随机变量的并1. 本文将限于研究具有凸性特征的照相图 假设每个随机变量具有高斯分布，代表着 收稿日期2001-02-19闵乐泉男，49岁，救投 图像像素处的灰度.因此，高斯噪声使得理想像 ★国家白然科学基金资助课题(No.60074034)和高等学校背F 点的图像变成了模糊不清晰的点状物体（图1 教师资助计划项

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ” 心 一 一 。 一种恢复数字化畸变凸性图像的算法 阂 乐泉 张晓丹 北 京科技大学应用科学学院 ， 北 京 摘 要 介绍 了 一 种恢 复数 字化畸变 凸性 图像 的算法一增强 算子 讨论该 方法增 强 和恢 复被 高斯 噪声 畸变 的 凸性数字化 图像的原 理 并通 过 计算机模拟 实例验证 增强 算子处 理畸变 凸 性 数字化像点 的有效性 该方法 已 用 于处理 一 一 准 晶的数字化高分 辨电子 显微镜 既 像 ， 揭示 像 中的 周期性 特征 关扭 词 数字化 图像 恢复凸性 计算 机模拟 准 晶 分 类号 高分 辨 电子 显微镜 像 是 研 究 面 体准 晶 ， ‘ · ” 的有力 「具 面体 的 象普遍 被 解 释 为 广 义 镶 嵌 ‘ ， 然 而 已 经 发 现 镶 嵌很 难解释 一 见 文献 的 像 所 谓 的 ， 可 以 解 释 为被 扰 动 的 周 期性结构 “ ” ， 凸 性 是 许 多 晶体 的 像 中亮 斑 的 基 本 特 点 ， 在 图像 中亮 斑 的 分 布展 现 出 周期性 的排 列 ， 代 表 着相 应 晶体的原 子 原 子 团 柱 的投 影 势能 然 而有 时 噪声 会使晶体 像 中的亮 斑 变 成模糊 不 清 晰 的 ， 扰动 了的物 像 人 们 期望 能 有 一 种算法将一 幅被扰 动的像精确地恢 复为未被 扰动 的原像 不 幸地 是 ，在一 般图像处 理 的场合 不 存在有这样一 种重 构算法 ‘ ’‘ ， 因此 如 果一 幅 具有某种缺陷 的 复杂 晶体结构 的 像被 噪 声所 严 重地 扰动 ， 则不 能 直觉 地认 识 到这 种 变 形 的像本质 具 有周期性 的特征 一般地说 ， 人 们期 望一 种恢 复数字化畸 变 凸性 图像 的方法 以 部分地解决 述 问题 本研究 介绍 一 种称 之 为 增 强 算子 的算法 ， 用 来处 理具 有 凸性 像点特 征 的数字 化 的 照 片 ， 该 算法 曾在早 先 的短 文 中未 加证 明地 给出 ‘ “ 一吕， 本 文将讨论增强 算 子 的原理 利用 计算机模拟 处理被 高斯噪 声 扰 动 的数字化 圆 和椭 圆 ，进 一 步确认算法 的有 效性 增强算子 本 文 将 限 于 研 究 具 有 凸 性 特 征 的 照 相 图 收稿 日期 刁 一 阂 乐泉 男 ， 岁 ， 教授 国家 自然科 学 基金 资助 课题 和 高等学校骨 卜 教师资助计划项 目 片 也 就 是 说 ， 在 理想 未 被 扰 动 的 的 照 相 图 片 中 ， 每一 个亮 斑均为凸性物体 特别它 可 以 是 一 个 圆 ，称此亮斑 为像点 为 了引 人 和 解 释增强 算 子 ， 首先 回忆 若干 术语 假 设一 幅照 相 图 片用 扫描仪以 适 当的精度 所 “ 测 量 ” ， 则相 应 的 数字 化像 通 过 扫描 仪所 记 录 且用 表示 该数字化像 中的 和 轴线 量化 为正 方形 图像 元 素— 像素 这 些像 素处 所 赋 予的数值系图像的灰度 在第 ，’ 个像素 第 行 ， 第 列 处 所 产生 的 图像 函数用 入，’ 表示 每一 个 值 ， 即 灰 度 是 一 个 整 数 ， 它 满 足 ‘ ’ 业 ， 灰 度人 ， 正 比于 该 数字化 图像 中 位于 或接 近 处 的相应像点 的亮度 根 据 预 先指定 的灰度 ， 数 字 化像点 见 图 可 以 得 到确 定 这 意指 每一 个 理想像点 的 边 界 应 由 具有 灰 度 的像 素所组 成 因此 可 称 这 一 预 先指 定的灰度 为边 界 灰度 一 幅选 取 边 界 灰 度 的 二 值 图像 是这 样 的 图像 如 果 原 始 图像 中一 个像素的灰度 小于 ， 则令其二 值 图 像 中相 应像素 的灰度值 为 ， 否 则令相应像素的 灰度 为 显 然 如果一 个 预 定 的边 界灰 度 太 低 ， 则相应 的二值 图像 中某些 相邻像点将相 互 重叠 另 一 方 面 ， 如 果 一 个 预 定 的边 界灰 度 太 高 ，则相应 的 二值图像中某些 像点将消失 实际 的数字化图像 可被假设 为一 个二维 离散随机 场一随机 变 量 的并 ” ， 假 设 每个 随 机 变 量 具有 高斯 分 布 ， 代 表 着 图像像素处 的 灰度 因此 ，高斯 噪声 使得 理想像 点 的 图像变 成 了模 糊 不 清晰 的点状 物体 图 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．2001．06．027

574 北京科技大学学报 2001年第6期 (c).从数值上说，高斯噪声会使得相应像点中 (b)为它的2值像，取边界灰度g150:图1(c)和(a) 的某些像素的灰度值小于g.也会使得像点外 所示的像受到均值为0、均方差为20的高斯噪 部的某些像素的灰度值大于g(图1(d).其次，我 声的扰动；(d)它的2值像，取边界灰度g=100. 们需要介绍所谓的滤波窗口概念，刀 定义1在一幅数字化图像中，一个(2+1)× 图1(a)具有2个理想像点的计算机模拟像： (2+1)的滤波窗口是一个区域，该区域有(2+1)× 51 图1计算机模拟像.(a)和b)理想像 点和相应的2值像；(c)和(d加入Ga ussiam噪声的像 Fig.1 Computer simulated images.(a) and(b)images of ideal image spots and their two-valued images;(c)and (d)the corresponding disturbed im- ages by Gaussian noise (2+1)个像素(2+1)行和2+1列.窗口的中心位 为什么增强算子S能够减少数字化图像中的噪 于第+1行和第+1列上，其灰度值将被修正. 声.图2给出了4幅图像，图中的实心圆代表相 数学上说，设G是一幅数字化图像.则G中的 应像素处的灰度值等于边界灰度g,而空心圆代 任何元素可表为(，)EG,其中()表示平面图像 表对应像素处的灰度值小于g.图2(a)说明如果 中第()个像素，仁f)为对应的灰度值一图像 作为3×3滤波窗口中心的第()个像素不属于某 函数，而0,1，，m-10,1,,n-1,m和n分别代 一像点，则相应修正的灰度值S,(》将仍小于 表该数字化图像中沿x轴和z轴方向像素的个 g因为仅有4个像素的灰度值等于g.图2b)指 数.设N是非负整数集合，则G是W中的子集，而 出如果高斯噪声使得一个像素点的边界变成了 f可通过令：fi0,(i)eN1G. 凹形，也就是说一个像点的边界点(3×3滤波窗口 算法的目标是利用滤波窗口来过滤噪声和 的中心)的灰度值f)小于g,则增强算子将增 放大像点.该算法是下面所定义的一个算子”. 加f)到S()广g,因为在该窗口中有5个像 定义2对于一个(2+1)×(2+1)滤波窗口，设 素的灰度值等于g,因此边界的凸性得到恢复. G是一幅数字化像.增强算子S是一个G∈W 图2（©）暗指像点中的"洞"能够被增强算子所"填 到N的映射，使得对任意的(i,f》EG 充".事实上有8个像素的灰度值等于g,因此 S:(ij,f(i ))1-(i,j,Sa(f(i,j))=(ij,round[mean{ S(fi,)一定等于g.图2(d指出增强算子能够 the largest 212+21+1 numbers in set g(i,))]) (1) 降低在像点外位于窗口中心的那个像素的灰度 其中集合g)={f(h,):h=i-l,i-+1,,+比k= 值，因为仅有4个像素的灰度值等于g从而噪声 j-l,j-l+l,…jt1,mean{x,x…x}=(xtxt,…,+ 被减少，一般地说，如果图2所示的实心圆的灰 x)/n,而round[x]表示最接近于x的整数.今称 度值大于边界灰度.则上述讨论中有关图2b) S(G)为G的第1次增强像.若m为一正整数，则 和2(c)的结论仍然有效，但有关图2(a)和2(d)的 称SG为的第m次增强像， 结论则不总能成立.但直觉上，增强算子的这类 错误似乎不会经常发生和影响对像点凸性的恢 2 增强算子的原理 (a) (b) (c) (d) 设G是一幅数字化图像而g为边界灰度.则 由公式（①）知，在第（个像素处的所修正后的灰。9● 0/9 度值S(》大于g当且仅当中心在(0处的3×3O●， 滤波窗口中有5个或更多的像素的灰度值大于 图2增强算子处理3×3滤波窗口中像象点的示意图 边界灰度g Fig.2 The graphs for processing image spots in 3x3 filtering 首先展示一个3×3滤波窗口的例子，来说明windows via the enhancing operator

Vol.23 闵乐泉等：一种恢复数字化畸变凸性图象的算法 575· 复.也就是说增强算子恢复像点形状的概率比 像示于图3(c)和图4(c).它们的2值图像（图3(d) 造成像点模糊的概率要大得多 和图4()显示像点的边界变得模糊不清，图像 中出现了大量噪声点.图3(e3G)和图4(e)4G) 3计算机模拟 分别是增强算子S,处理图3(c)和图4(c)后得到 用增强算子来处理带有高斯噪声的凸亮斑 的图像及对应的2值图像.随着处理次数的增 计算机模拟像，以加深理解上节关于增强算子 加，像点的边界变得越来越光滑，而噪声点越来 的解释.图3(a)和4(a)是具有200×200个像素的 越少，虽然最后仍然有一个噪声点（图3（①）和3G) 计算机模拟像.在第(，)个像素处所产生的图像 不能被增强算子所擦除，但该噪点的面积只有 函数fi)时，被定义为： 43个像素，它很容易通过计算机程序或视觉与 fiJ)=round[255exp(-0.01√i-100y+0-100)] 具有20226个像素大的像点相区分. 和 图3(a)一个计算机模拟的圆像点图像，和b) fi-oumd[255exp(-0.01√2(i-100+V0-100)] 它的2值图像，取边界灰度g-150.(c)图像(a)中 其中1≤≤200. 加人了均值为0，均方差为20的高斯噪声，和(d) 因此图3(a)中有一个圆像点；而图4a)中有 它的2值图像，取边界灰度g150,(e)图像(c)的第 一个椭圆像点.它们的2值图像示于图3()和 1次增强像，和（①它的2值图像，取边界灰度 图4(b).在图3(a)和图4(a)中加入噪声后，其变形 g=150.(g)图像(c)的第2次增强像，和h)它的2 值图像，取边界灰度g=150,()图(c)的第10次增 d 图4计算机模拟像.(a)和(b)理像圆像点和其2值像；(c)和(d被Gaussian噪声扰动的像；增强算子处理像(e)) Fig.3 Computer simulated images (b) d) 图4计算机模拟像.(a)和(b)理像椭圆像点和其2值像；(c)和(d)被Gaussian噪声扰动的像；增强算子处理像(e一) Fig.4 Computer simulated images

·576· 北京科技大学学报 2001年第6期 强像，和Gj)它的2值图像，取边界灰度g=150. 4 Min L,Wu Y.Understanding Twelvefold Symmetry in 图4(a)一个计算机模拟的椭圆像点图像，和 Electron Diffraction Patters.Phys Rev,1992-II,B45: 10306 (b)它的2值图像，取边界灰g=150.(c)图像(a)中 5 Min L,Wu Y.Replay to Comment on Understanding 加人了均值为0，均方差为20的高斯噪声，和(d) Twelvefold Symmetry in Electron-diffraction Patterns. 它的2值图像，取边界灰度g=l50.(e)图像(c)的 Phys Rev,1994-II.B49:16052 第1次增强像，和()它的2值图像，取边界灰度 6闵乐泉，周欣.高分辨电子显微图的图像处理和应用 g=l50.(g)图像(c)的第2次增强像，和(h)它的2 北京科技大学学报，1996.18(3)：299 值图像，取边界灰度g=150.(i)图像(c)的第10次 7 Min L.Understanding HREM Images of Al-Mn-Si Icosahedal Quasicrystal,Journal of University of Science- 增强像，和G)它的2值图像，取边界灰度g150. and Technoloyg Beijing(English Edition),1996,3(2):140 8 Min L,Zhang X.Processing HREM Images of Mn-Al 4结论 Icosahedal Quasicrystal,Journal of University of Science- and Technoloyg Beijing(English Edition),1998,5(2):113 综上所述，增强算子具有良好的降低噪声 9 Min L.Nonclassical Plane-crystallographic Groups and 功能和恢复与增加数字化图像中凸像点的功能 their Applications I.Journal of University of Science and 增强算子已被编成C+计算机程序，该程序甚 Technology Beijing,1996,3(2):133 至可在PC486微机上快速处理具有10MB字 10 Min L.Nonclassical Plane-crystallographic Groups and 节的准晶体的数字化HREM图像s这表明本 their Applications II.Journal of University of Science and 文介绍的算法可作为处理物质HREM图像和恢 Technology Beijing,1997,4(1):58 11 Min L,Zhang X.Nonclassical Plane-crystallographic Gro- 复数字化畸变凸性图像的有益工其 ups and their Applications l1l.Journal of University of- 参考文献 Science and Technology Beijing,1997,4(4):55 12 Min L,Zhang X.Nonclassical Plane-crystallographic Gro- 1 Hiraga K.High-resolution Electron Microscopy of Al-Mn- ups and their Applications IV.Journal of University of- Si Icosahedral and Al-Mn Decagonal Quasicrystals.J Science and Technology Beijing.1998,5(4):228 Microscopy,.1986,146(3):245 13 Min L.Zhang X.Chang G.Interpretation of the Tenfold 2 Hiraga K.Highly Ordered lcosahedral Quasicrystal of Al- Rotational Symmetry in Electron-diffraction Patterns. Cu-Fe Alloy Studied by Electron Diffraction and High- Progress in Natural Science,2000(4):280 resolution Electrom Microscopy.Japaness J Applied 14 Harman G T.Image Reconstruction from Projection:the Phys,I988,27(6:L951 Foundations of Computerized Tomography,N Y,Aca- 3 Steinhart P.Divincenzo D.Quasicrystals:The State of the demic Press,1980 Art.Singapore:Word Scientific,1991 15 Rosenfeld A.Image Modeling.NY:Acadermic Press,1981 A Method for Restoring Digitized Images with Degraded Convex Dots MIN Lequan,ZHANG Xiaodan Applied Science School,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT An algorithm named enhancing operator for restoring digitized images with degraded convex is introduced.The principle of the enhancing operator for enhancing and restoring digitized images with con- vex bright-dots perturbed by additive Gaussian noise is discussed.The computer simulation show that the al- gorithm has good functions for noise reduction,restoration and enhancement of convex image spots in digitized images.The enhancing operator has been previously used to process the digitized high-resolution electron microscopic (HREM)images of Al-Mn-Si quasicrystal and discovered the periodic characteristics in the HREM images. KEY WORDS digitized image;restoring convexity;compute simulation;quasicrystal

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 强 像 ， 和 小它 的 值图像 ，取边 界灰度护 图 一 个计算机模拟的椭 圆像点 图像 ， 和 它 的 值图像 ，取边界灰 图像 中 加 人 了均值为 ，均方差 为 的 高斯 噪声 ，和 它 的 值 图像 ， 取边 界灰 度犷 图像 的 第 次增强 像 ， 和 它 的 值图像 ， 取边 界 灰度 犷 图像 的第 次增 强 像 ， 和 它 的 值图像 ， 取边 界灰度厂 图像 的第 次 增 强像 ，和小它的 值 图像 ，取边 界灰度舒 结论 综 所 述 ， 增强 算子 具有 良好的 降低噪声 功 能和恢 复与增加 数字化 图像 中凸像点 的功 能 增 强 算子 已被 编成 计算机 程序 ， 该程 序甚 至 可在 微机 上快速处理具有 字 节 的准晶体的数字 化 图像 ’卜引 这表 明本 文介绍 的算法可作为处理物质 咫 图像和恢 复数 字化畸变 凸性 图像 的有益 工 具 参 考 文 献 一 一 一 ， ， 即 一 价 ， ， 感 ， ， 价 ， 一 ， ， 一 价 ， 一 ， 阂乐泉 ， 周欣 高分辨电子 显微 图的图像处理 和应用 北 京科技 大学学 报 ， ， 一 一 ， ， ， ， 一 比 ， ， ， ‘ 一 ， ， 一 ， ， ， 一 旧 ， ， ， 一 ， ， ， 一 ， 了 ， 艺 ， 铭 ， 刀 付 ” ， ， 而 勿 ， 一 一 一