之为(p).91(p)=M:如对每一点p∈M皆是r次 式,且(155)在V中是可微分的,则称是在V上可微分的r 次式所有在M中可微分的r次式组成的空间命之为%(M) (M)是M中可微分函数 如∈W,6∈%可定义外积a∧θ∈+:如下: 当X X,+∈Mp则 ∧6(X 士 B-**a(x;…X,)B(X;…X,) (I57) 其中l1…l,+是1,…,r+s的一个排列.由定义可知 ∧6-(-1)8∧m (158) 现在定义∈x(M)的外微分do∈则+(M)如下:当 =0,f∈别(M),则4∈M)定义为,对任一点p∈M来 说,有 f(X)=X,x∈M 由于x(p)∈(M),故有 (159) 因此d=研,dx2,而对任一∈(M),令a是由(15 6)定义,则外微分式 1“ t, drta…Adx有如下性质: “t,dxt:∧…∧axx…xn ar' 我们得出 29
(x)dxt∧…Ad (1510 这是外微分式的局部坐标表示。我们可定义 dt d ∧dxt∧·∧ r!(r+1):6-,br41A…A4 (r+1):2 (-1)-1 ark dxA…∧dx4 (51) 由上式可知 (1512) 因ddf 又 dA6)=do∧θ+(-1)a∧d0.(151) 现在要证明:设a∈t(M).x1;…,x+是可微分向量场, 则有 dco(x x,+) (-1)iX, o(XI Xr+)+ (-1)+(IX1Xk] X 众 8k……,X+), (154) 其中A,表X,不出现 设 Xa=§(x) 据(1510)有 3
do(x1,……,X#)=产1 (r+1):a Ekr +2(-1)* (a+n++5…5…) (r+1) ∑(-1) 6 十 ara 1, Xr+1) ∑(-1)专ax- (r+1)!a 氯N Eatr+i 8 )-x。o(X1 北 x,+)
x,+12( 5声 5……… (r+1)! X台2的……g +1之(-1)“x(X1,…,R,…x+) (-1 asK +1 x ……牡 ∑(-1)x(X1;…Ra,…X T+ +∑( ([xa, x I n…,X+1) 这便证明了(1514) 定理151( Poincar引理)设a是在M的P点的邻域 的可微分的r次式适合do=0,则存在P点的邻域的可微分 的r一1次式θ使得 证由于此定理是局部的,我们不妨在Rm的原点的邻 域来证明。当r=m,定理是显然的,只证r<m的情形。 我们采用归纳法,设定理在Rm-1中成立,现证Rm的情形.写
tdx"A 其中a1,2不包含dxm.构造r-1次式 日=61+dxm∧62 其次61,62不包含dx".取日2是任意的,而适合 b81 662 1515) 其中若 Xa:ar-(=)ax∧…Adx%-, 则-定义为 oX dx"∧·∧d 令 a62 aI b-w-、(#)dx"∧……∧4x→ 则(1.5.15)化为求解偏微分方程组 OX 这必有解,例如 X b (s)ds 便是,换言之必存在61适合(15.15 dxm∧c2-dxm∧