第一章弯曲时空里的张量代数 广义相对论是一个几何化的引力理论.引力表现为时空的弯曲,而时空的弯曲由物质及其分布来决 定.弯曲时空中的几何不再是欧几里德的而是黎曼的*.广义相对论中由物理量组成的物理定律是广义协 变的,亦即在所有的坐标系里物理定律的形式都相同.也就是说,物理定律和物理量不依赖于坐标系的 选择.作为一个几何化的理论,应当寻找与这些物理量对应的几何量.这些几何量应当独立于坐标系的选 择它们是张量.物理定律就由一些张量之间的关系来组成.本章简单扼要地介绍本书需要的张量代数知 识 1.1度规 弯曲空间和平直空间以2维平面柱面和球面为例来看平直空间和弯曲空间的差别.要判断柱面和 球面是不是平直的,只要将柱面和球面连续地变形,看它们能不能变成平面注意在变形的过程中,邻 近两点间的距离应当保持不变,否则任何一个不闭合的曲面都能连续地变形成平面.也就是说,所进行的 变换是等距变换显然,将柱面的一母线剪开,即可将其展开成为平面.去除了一点的球面是一个不闭合 的曲面,但它不能连续变形为平面,除非这一球面是用可以任意伸长和缩短的材料作成的这说明,柱 面和球面有本质的不同,前者是平直的,后者是弯曲的. 平面、柱面和球面的区别可用相邻两点间距离的表达式来表示.设无穷小邻近两点间的距离为ds,对 平面和柱面选择直角坐标系x和y,有 ds2=+dy2. (1.1) 对球面选择经纬度坐标,中,有 ds2=+ sin20do2. (1.2) 显然,在左边ds2保持不变的情况下,无论做什么坐标变换,方程(1.2)在形式上不可能转换成方程(1.1).这 表明,邻近两点之间距离的表达式可以区分空间的弯曲状况.ds2的表达式称为度规 欧氏空间的度规牛顿力学的空间是3维欧氏空间E3,用直角坐标(=1,2,3)表示的度规为 ds2=ijdg'dg', (1.3) 其中b是 Kroneckerδ符号,即 0,当≠ 1,当i=j 这里沿用了爱因斯坦求和的书写规则:当一项中有两个指标相同时,对该指标的所有可能的取值求和,求 和号则予以省略.这样度规(1.3)等价于 ds-=dedg'. 这一规则大大简化了书写,它的应用遍及全书 这里把弯曲时空的几何统称为黎曼几何,在名词上不再区分椭圆型和双曲型等情况然而,本书关心的只是广义相对论的时 空,它的度规矩阵的特征值为一负三正,属于双曲型 1
第一章 弯曲时空里的张量代数 广义相对论是一个几何化的引力理论. 引力表现为时空的弯曲，而时空的弯曲由物质及其分布来决 定. 弯曲时空中的几何不再是欧几里德的而是黎曼的∗ . 广义相对论中由物理量组成的物理定律是广义协 变的，亦即在所有的坐标系里物理定律的形式都相同. 也就是说，物理定律和物理量不依赖于坐标系的 选择. 作为一个几何化的理论，应当寻找与这些物理量对应的几何量. 这些几何量应当独立于坐标系的选 择. 它们是张量. 物理定律就由一些张量之间的关系来组成. 本章简单扼要地介绍本书需要的张量代数知 识. 1.1 度规 弯曲空间和平直空间 以2维平面,柱面和球面为例来看平直空间和弯曲空间的差别. 要判断柱面和 球面是不是平直的，只要将柱面和球面连续地变形，看它们能不能变成平面. 注意在变形的过程中，邻 近两点间的距离应当保持不变，否则任何一个不闭合的曲面都能连续地变形成平面. 也就是说, 所进行的 变换是等距变换. 显然，将柱面的一母线剪开，即可将其展开成为平面. 去除了一点的球面是一个不闭合 的曲面，但它不能连续变形为平面，除非这一球面是用可以任意伸长和缩短的材料作成的. 这说明，柱 面和球面有本质的不同，前者是平直的，后者是弯曲的. 平面、柱面和球面的区别可用相邻两点间距离的表达式来表示. 设无穷小邻近两点间的距离为ds, 对 平面和柱面选择直角坐标系 x 和 y,有 ds 2 = dx 2 + dy 2 . (1.1) 对球面选择经纬度坐标 θ, φ, 有 ds 2 = dθ 2 + sin2 θdφ 2 . (1.2) 显然, 在左边 ds 2 保持不变的情况下, 无论做什么坐标变换, 方程(1.2)在形式上不可能转换成方程(1.1). 这 表明, 邻近两点之间距离的表达式可以区分空间的弯曲状况. ds 2的表达式称为度规. 欧氏空间的度规 牛顿力学的空间是3维欧氏空间E3,用直角坐标 ξ i (i = 1, 2, 3) 表示的度规为 ds 2 = δijdξ idξ j , (1.3) 其中δij是Kronecker δ符号, 即 δij = ( 0, 当 i 6= j, 1, 当 i = j. 这里沿用了爱因斯坦求和的书写规则: 当一项中有两个指标相同时, 对该指标的所有可能的取值求和, 求 和号则予以省略. 这样,度规(1.3)等价于 ds 2 = X 3 i=1 X 3 j=1 δijdξ idξ j . 这一规则大大简化了书写, 它的应用遍及全书. ∗这里把弯曲时空的几何统称为黎曼几何，在名词上不再区分椭圆型和双曲型等情况. 然而，本书关心的只是广义相对论的时 空，它的度规矩阵的特征值为一负三正，属于双曲型. 1
第一章弯曲时空里的张量代数 E3的度规在一般坐标系{x2}中不再具有(1.3)的简单形式.例如在球坐标系(r,6,)中为 它的一般形式为 (1.4) 其中dx是相邻两点的坐标差.量gn;是度规表达式中的关键部分,它表示空间的几何性质,称为度规张量 在一般坐标系里,9是坐标x的函数.欧氏空间度规的特点是存在一个全局的坐标变换使度规g在每 个空间点都变成 闵可夫斯基度规狭义相对论中的时间和空间结合在一起,构成了4维的闵可夫斯基时空M4.采用 直角坐标系(ct,5,,(),其度规可写为 c2dt2+d52+dn2+d(2, (1.5) 其中时间项前面的负号表示时间与空间的区别时间是有方向的,不会倒流.引入符号a}(a=0.12,3) 表示直角坐标,并用{x°}表示任意坐标系,M4的度规为 nap = gaBd°dx3, 其中m00=-1,m=m22=m3=1,而na的其余分量为零.狭义相对论的时空M4在一般坐标系中的度规 张量φa总可以通过某一个坐标变换在时空的每一点都转换成闵可夫斯基度规张量naB.例如,下面的度规 ds2 c2dt2+dr2 +r2d02+dz2 de 是用柱坐标表示的在以u为角速度旋转的参考系中的M4度规.这时9o0=-(1-2r2/c2),gr=1 900=900=r2/c,其余的度规分量为零.显然只要做坐标变换将θ换成θ-ut,再将柱坐标变 换成直角坐标,度规(1.7)就可以全局地转换成闵可夫斯基度规(1.5).这说明度规(1.7)对应的时空是平直 弯曲时空的度规广义相对论中的4维时空是弯曲的,它的度规一般可写为 gaadr dr (1.8) 度规张量gaa是时空坐标x“的函数,具体的形式依赖于具体时空的性质.它的各分量的形式也依赖于坐标 系的选择.对于弯曲的时空,不存在一个全局的(全时空的)坐标变换,使度规张量ga像度规(1.7)一样,在时 空的每一点都转换成闵可夫斯基度规πaB.例如,一个球对称的恒星周围时空的度规是著名的施瓦西度规 c2dt2+(1 2Gm c2r)dr2+r(d84+sindo), 其中G和π分别为牛顿引力常数和恒星的质量.在学习了黎曼几何后,容易证明上述度规不可能变换成闵 可夫斯基度规(15) 度规张量在度规的表达式(1.8)中,代表时空几何的量显然是ga.91.3将说明它是一个2阶张量的 坐标分量,称为度规张量的协变坐标分量,常简称为协变度规.名词“协变”的含义将在本章的后行章节中 予以解释.在广义相对论中度规张量是对称的,即恒有gaB=9a
2 第一章 弯曲时空里的张量代数 E3的度规在一般坐标系{x i}中不再具有(1.3)的简单形式. 例如在球坐标系(r, θ, φ)中为 ds 2 = dr 2 + r 2dθ 2 + r 2 sin2 θdφ 2 . 它的一般形式为 ds 2 = gijdx idx j , (1.4) 其中dxi是相邻两点的坐标差. 量gij是度规表达式中的关键部分, 它表示空间的几何性质, 称为度规张量. 在一般坐标系里, gij是坐标x k的函数. 欧氏空间度规的特点是存在一个全局的坐标变换使度规gij在每一 个空间点都变成δij . 闵可夫斯基度规 狭义相对论中的时间和空间结合在一起, 构成了4维的闵可夫斯基时空M4. 采用 直角坐标系(ct, ξ, η, ζ), 其度规可写为 ds 2 = −c 2dt 2 + dξ 2 + dη 2 + dζ 2 , (1.5) 其中时间项前面的负号表示时间与空间的区别. 时间是有方向的, 不会倒流. 引入符号{ξ α} (α = 0, 1, 2, 3) 表示直角坐标, 并用{x α}表示任意坐标系, M4的度规为 ds 2 = ηαβdξ αdξ β = gαβdx αdx β , (1.6) 其中η00 = −1, η11 = η22 = η33 = 1, 而ηαβ的其余分量为零. 狭义相对论的时空M4在一般坐标系中的度规 张量gαβ总可以通过某一个坐标变换在时空的每一点都转换成闵可夫斯基度规张量ηαβ. 例如,下面的度规 ds 2 = −(1 − ω 2 r 2 c 2 )c 2dt 2 + dr 2 + r 2dθ 2 + dz 2 + 2ωr2 c cdtdθ, (1.7) 是用柱坐标表示的在以ω为角速度旋转的参考系中的M4度规. 这时g00 = −(1 − ω 2 r 2/c2 ), grr = 1, gθθ = r 2 , g0θ = gθ0 = ωr2/c, 其余的度规分量为零. 显然,只要做坐标变换将 θ 换成 θ − ωt, 再将柱坐标变 换成直角坐标, 度规(1.7)就可以全局地转换成闵可夫斯基度规(1.5). 这说明度规(1.7)对应的时空是平直 的. 弯曲时空的度规 广义相对论中的4维时空是弯曲的, 它的度规一般可写为 ds 2 = gαβdx αdx β (1.8) 度规张量gαβ是时空坐标x µ的函数, 具体的形式依赖于具体时空的性质. 它的各分量的形式也依赖于坐标 系的选择. 对于弯曲的时空, 不存在一个全局的(全时空的)坐标变换,使度规张量gαβ像度规(1.7)一样, 在时 空的每一点都转换成闵可夫斯基度规ηαβ. 例如,一个球对称的恒星周围时空的度规是著名的施瓦西度规, ds 2 = −(1 − 2Gm c 2r )c 2dt 2 + (1 − 2Gm c 2r ) −1dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin2 θdφ 2 ), (1.9) 其中G和m分别为牛顿引力常数和恒星的质量. 在学习了黎曼几何后,容易证明上述度规不可能变换成闵 可夫斯基度规(1.5). 度规张量 在度规的表达式(1.8)中, 代表时空几何的量显然是gαβ. §1.3将说明它是一个2阶张量的 坐标分量, 称为度规张量的协变坐标分量, 常简称为协变度规. 名词“协变”的含义将在本章的后行章节中 予以解释. 在广义相对论中度规张量是对称的, 即恒有gαβ = gβα
§1.1度规 现在看度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律.设进行坐标变换,从{x}系到{x°}系,注 意ds2是坐标变换的不变量,从(1.8)有 1s=goa nn zr '" go adara"dara 所以度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律是 ara ark (1.10) 上式可写成矩阵形式.记G=(gaB)和G=(aB)分别为2个坐标系中由度规张量的协变坐标分量组成的 矩阵,J=(x°/axa)为坐标变换的雅可比矩阵,则 G=TG. 其中厂表示J的转置矩阵 定义G-1=(g)为G的逆矩阵,即 ga由ga唯一地决定,可以猜测两者并无本质的区别,今后将更严格地说明两者都是度规张量在不同基 底下的坐标分量.称g为度规张量的逆变坐标分量,常简称为逆变度规.名词“逆变”的含义将在本章后 行章节中解释 从(112)和(110)不难得到g在坐标换下的变换规律是(见习题11) gag aza arB B 或 今后将用拉丁字母表示空间坐标1,2,3,而用希腊字母表示时空坐标0,1,2,3.另外,度规协变分量的指 标写在右下角,逆变分量的指标写在右上角,坐标x的指标也写在右上角.这些规定有利于张量运算的数 学表示 为了熟悉爱因斯坦求和指标的书写规则和用这种规则进行数学推导,现在来证明协变和逆变度规在 坐标变换下的变换规律(1.10)和(1.13)能保证两者在任何坐标系中都是互逆的,亦即(1.12)式在一个坐标 系中成立,则在所有坐标系中都成立 (1.10)和(113)两式表明有下式成立: ga r=dr. Oxg ax'azr' ara arB axh axk gaB9 这里要注意每一个指标在一项中出现不得超过2次,初学者在进行推导时一定要经常进行检查.上式的右 边符号a,B,H,和B′都出现2次,要从0到3求和,共有5重求和.求和后等式左右两边都只剩下a'和/2个指 标.这些检查有助于发现推导中的错误 利用 arb axB azB/OrH=p 上式变 ga'897aza ary
§1.1 度规 3 现在看度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律. 设进行坐标变换, 从{x α}系到{x α 0 }系, 注 意ds 2是坐标变换的不变量，从(1.8)有 ds 2 = gαβ ∂xα ∂xα0 ∂xβ ∂xβ0 dx α 0 dx β 0 = gα0β0dx α 0 dx β 0 . 所以度规张量的协变坐标分量在坐标变换下的变换规律是 gα0β0 = ∂xα ∂xα0 ∂xβ ∂xβ0 gαβ. (1.10) 上式可写成矩阵形式. 记G = (gαβ)和G0 = (gα0β0 ) 分别为2个坐标系中由度规张量的协变坐标分量组成的 矩阵, J = (∂xα/∂xα 0 ) 为坐标变换的雅可比矩阵, 则 G 0 = J TGJ (1.11) 其中J T表示J的转置矩阵. 定义G−1 = (g αβ)为G的逆矩阵, 即 gαβg βγ = δ γ α. (1.12) gαβ由gαβ唯一地决定，可以猜测两者并无本质的区别, 今后将更严格地说明两者都是度规张量在不同基 底下的坐标分量. 称g αβ为度规张量的逆变坐标分量，常简称为逆变度规. 名词“逆变”的含义将在本章后 行章节中解释. 从(1.12)和(1.10)不难得到g αβ在坐标换下的变换规律是（见习题1.1） g α 0β 0 = ∂xα 0 ∂xα ∂xβ 0 ∂xβ g αβ . (1.13) 或 G 0−1 = J −1G −1J −1T (1.14) 今后将用拉丁字母表示空间坐标1,2,3, 而用希腊字母表示时空坐标0,1,2,3. 另外, 度规协变分量的指 标写在右下角, 逆变分量的指标写在右上角, 坐标x α的指标也写在右上角. 这些规定有利于张量运算的数 学表示. 为了熟悉爱因斯坦求和指标的书写规则和用这种规则进行数学推导，现在来证明协变和逆变度规在 坐标变换下的变换规律(1.10)和(1.13)能保证两者在任何坐标系中都是互逆的，亦即(1.12)式在一个坐标 系中成立，则在所有坐标系中都成立. (1.10)和(1.13)两式表明有下式成立： gα0β0g β 0γ 0 = ∂xα ∂xα0 ∂xβ ∂xβ0 ∂xβ 0 ∂xµ ∂xγ 0 ∂xν gαβg µν . 这里要注意每一个指标在一项中出现不得超过2次，初学者在进行推导时一定要经常进行检查. 上式的右 边符号α,β,µ,ν和β 0都出现2次，要从0到3求和，共有5重求和. 求和后等式左右两边都只剩下α 0和γ 02个指 标. 这些检查有助于发现推导中的错误. 利用 ∂xβ ∂xβ0 ∂xβ 0 ∂xµ = δ β µ , 上式变成 gα0β0g β 0γ 0 = ∂xα ∂xα0 ∂xγ 0 ∂xν gαβg βν
第一章弯曲时空里的张量代数 假定协变度规和逆变度规互逆在坐标系{x°}中成立,则有 axa ax 这就证明了两者在坐标系{x°}中也是互逆的 121阶张量 切空间和切向量在图11中,4维时空M是弯曲的 在M上的任一点A,有M的切空间TAM,它是平直的,其 TM 维数与M相同.M上A的无穷小领域可用切空间TAM来 A 近似.切向量T属于切空间,写成T∈TAM.它是一个独 立于坐标系选择的几何量.切空间中的全体切向量组成 了一个线性向量空间.注意在时空的每一点都有一个切 空间,因此必须标明一个切向量是属于哪一点的切空间 本章只讨论同一切空间中的切向量 图1.1:弯曲时空的切空间和切向量 逆变坐标分量度规(1.8)中的两相邻点之间的 坐标差dxa显然是一个切向量的坐标分量.当坐标系 从{x}变换到新坐标系{x?}时,按微分的计算规则,有 其中下标A表示涉及的偏微商应当在点A处取值,而dx是时空点A处切空间里切向量的坐标分量.今后这 下标将予以忽略 1阶张量T是一个切空间中的切矢量,在坐标变换下其坐标分量的变换规律服从下面的线性齐次变换 上式中张量T的指标a或a'称为逆变指标,写在其坐标分量的右上角 两个切矢量之间的内积由度规来定义,是一个坐标变换的不变量,由下式计算 T·K=gaB1°K (1.16) 个切矢量和自己的内积就定义为该矢量长度的二次方,即 ‖T‖2=TT 注意,前面提到过相对论时空的度规是双曲型的,这时一个矢量长度的二次方不一定大于零.我们将在下 一章再次讨论这一问题 有了度规,切空间的内积就有了定义,这样就能计算向量的长度和两个向量之间的夹角,充分说明了 度规这个名词的内涵.读者也可以回忆线性代数课程中关于线性向量空间的内容.切空间是一个线性向量 空间 逆变基底1阶张量T本身是几何量,与坐标基底的选择无关,但其坐标分量T应当依赖于坐标基 底记e(a)是在时空中选择坐标系{x}时切空间的基底,张量的坐标分解可写为
4 第一章 弯曲时空里的张量代数 假定协变度规和逆变度规互逆在坐标系{x α}中成立，则有 gα0β0g β 0γ 0 = ∂xα ∂xα0 ∂xγ 0 ∂xν δ α ν = ∂xα ∂xα0 ∂xγ 0 ∂xα = δ γ 0 α0 . 这就证明了两者在坐标系{x α 0 }中也是互逆的. 1.2 1阶张量 切空间和切向量 在图1.1中, 4维时空M是弯曲的. M A T TAM 图 1.1: 弯曲时空的切空间和切向量. 在M上的任一点A, 有M的切空间TAM, 它是平直的, 其 维数与M相同. M上A的无穷小领域可用切空间TAM来 近似. 切向量T属于切空间, 写成T ∈ TAM. 它是一个独 立于坐标系选择的几何量. 切空间中的全体切向量组成 了一个线性向量空间. 注意,在时空的每一点都有一个切 空间, 因此必须标明一个切向量是属于哪一点的切空间. 本章只讨论同一切空间中的切向量. 逆变坐标分量 度规(1.8)中的两相邻点之间的 坐标差dx α 显然是一个切向量的坐标分量. 当坐标系 从{x α}变换到新坐标系{x α 0 }时, 按微分的计算规则, 有 dx α 0 = (∂xα 0 ∂xα )Adx α . 其中下标A表示涉及的偏微商应当在点A处取值, 而dx α是时空点A处切空间里切向量的坐标分量. 今后这 一下标将予以忽略. 1阶张量T是一个切空间中的切矢量, 在坐标变换下其坐标分量的变换规律服从下面的线性齐次变换 T α 0 = ∂xα 0 ∂xα T α . (1.15) 上式中张量T的指标α或α 0称为逆变指标, 写在其坐标分量的右上角. 两个切矢量之间的内积由度规来定义, 是一个坐标变换的不变量, 由下式计算: T · K = gαβT αKβ . (1.16) 一个切矢量和自己的内积就定义为该矢量长度的二次方, 即 k T k 2= T · T = gαβT αT β . (1.17) 注意, 前面提到过相对论时空的度规是双曲型的, 这时一个矢量长度的二次方不一定大于零. 我们将在下 一章再次讨论这一问题. 有了度规, 切空间的内积就有了定义, 这样就能计算向量的长度和两个向量之间的夹角, 充分说明了 度规这个名词的内涵. 读者也可以回忆线性代数课程中关于线性向量空间的内容. 切空间是一个线性向量 空间. 逆变基底 1阶张量T本身是几何量, 与坐标基底的选择无关, 但其坐标分量T α应当依赖于坐标基 底. 记e(α) 是在时空中选择坐标系{x α}时切空间的基底, 张量的坐标分解可写为 T = T α e(α) . (1.18)
§1.21阶张量 注意这里基底的下标(a)加上了圆括号,表示这是第a个基底向量,而不是基底的第a个坐标分量 按基底的定义,显然有 这样根据内积的定义(1.16)式,立即可算得这组基底的相互内积恰好是度规张量的相应坐标分量,亦即 上式说明第a个基底长度的二次方就是gaa,也说明一般情况下基底不是正交归一的.上述基底称为逆变基 底,张量在逆变基底上的坐标分量称为张量的逆变坐标分量 显然闵可夫斯基的度规(1.6)的逆变基底是正交归 的,转盘度规(1.7)的逆变基底不是正交归一基底组,而施 瓦西度规(1.9)有正交不归一的逆变基底组.切空间是平 直的空间,是否总能选择到一组正交归一的基底呢?对 个具体的切空间,答案是肯定的.可以将不正交归一的基 底组重新线性组合而成为正交归一基底组.然而,由于时 空的弯曲,不可能找到一个统一的变换,将时空所有点的 切空间内的逆变基底组都转换成正交归一基底组,这和 弯曲时空的度规不能全局地变换成闵可夫斯基度规是同 样的道理.所以,在弯曲时空中经常面对的是不正交归一图1.2:时空坐标系和切空间逆变基底的关系 的基底组 图1.2显示时空坐标系和切空间逆变基底之间的关系.在4维时空M中选择了坐标系(,x2),相当于 在M上打上了坐标网络线,在时空点A处,对应的切空间逆变基底e(o)和e()与该处的坐标线相切.它们的 大小和方向由度规gaB决定,一般不是正交归一的 对应不同的坐标系,切空间有不同的基底.现在来看逆变基底向量在坐标变换下的变换规律.(118)式 左边是与坐标系选择无关的向量,右边T在坐标变换下按(1.15)显示的规律在变换,于是可导出当从坐标 系{x}变换到坐标系{x}时,逆变基底向量的变换关系是 ara (a') ara(a) (1.21) 协变基底显然,切空间中任何一组线性独立的向量都可以用来充作基底.现在从逆变基底出发用 逆变度规来构造另一组基底 e(a)=g Pe(a) 22) 从协变度规ga和逆变度规g的互逆关系(1.12)可以得到 再利用内积蕴算是线性运算和逆变基底的内积关系(1.20)式可得 e).e)=g°,e 上式说明协变基底的长度和相互的夹角由逆变度规g来决定,也说明在时空坐标系选定之后,切空间 自然地有协变和逆变2组基底,它们相互之间有一定的对称性
§1.2 1阶张量 5 注意这里基底的下标(α)加上了圆括号, 表示这是第α个基底向量，而不是基底的第α个坐标分量. 按基底的定义, 显然有 e β (α) = δ β α (1.19) 这样,根据内积的定义(1.16)式,立即可算得这组基底的相互内积恰好是度规张量的相应坐标分量,亦即 e(α) · e(β) = gαβ, (1.20) 上式说明第α个基底长度的二次方就是gαα, 也说明一般情况下基底不是正交归一的. 上述基底称为逆变基 底, 张量在逆变基底上的坐标分量称为张量的逆变坐标分量. 显然,闵可夫斯基的度规(1.6)的逆变基底是正交归一 x i ct e(o) e(i) 图 1.2: 时空坐标系和切空间逆变基底的关系. 的, 转盘度规(1.7)的逆变基底不是正交归一基底组, 而施 瓦西度规(1.9)有正交不归一的逆变基底组. 切空间是平 直的空间, 是否总能选择到一组正交归一的基底呢? 对一 个具体的切空间, 答案是肯定的. 可以将不正交归一的基 底组重新线性组合而成为正交归一基底组. 然而, 由于时 空的弯曲,不可能找到一个统一的变换, 将时空所有点的 切空间内的逆变基底组都转换成正交归一基底组, 这和 弯曲时空的度规不能全局地变换成闵可夫斯基度规是同 样的道理. 所以, 在弯曲时空中经常面对的是不正交归一 的基底组. 图1.2显示时空坐标系和切空间逆变基底之间的关系. 在4维时空M中选择了坐标系(ct, xi ), 相当于 在M上打上了坐标网络线, 在时空点A处, 对应的切空间逆变基底e(o)和e(i)与该处的坐标线相切. 它们的 大小和方向由度规gαβ决定, 一般不是正交归一的. 对应不同的坐标系, 切空间有不同的基底. 现在来看逆变基底向量在坐标变换下的变换规律. (1.18)式 左边是与坐标系选择无关的向量, 右边T α在坐标变换下按(1.15)显示的规律在变换, 于是可导出当从坐标 系{x α}变换到坐标系{x α 0 }时，逆变基底向量的变换关系是 e(α0) = ∂xα ∂xα0 e(α) (1.21) 协变基底 显然, 切空间中任何一组线性独立的向量都可以用来充作基底. 现在从逆变基底出发用 逆变度规来构造另一组基底. e (α) = g αβe(β) . (1.22) 从协变度规gαβ和逆变度规g αβ的互逆关系(1.12)可以得到 e(α) = gαβe (β) . (1.23) 再利用内积蕴算是线性运算和逆变基底的内积关系(1.20)式可得 e (α) · e (β) = g αβ , e (α) · e(β) = δ α β (1.24) 上式说明协变基底的长度和相互的夹角由逆变度规g αβ来决定，也说明在时空坐标系选定之后，切空间 自然地有协变和逆变2组基底，它们相互之间有一定的对称性