2(b) ed6“e的xOr ox ar (1421) 可知48(x)必须满足 (1422) 满足上面条件的mXm方阵A〓(4)所成的群,命名为 O(r,5),r+s 当 ,令0(m)mO(m,0)是正交 矩阵群。由于对于伪正交标架{c{}的向量,经标架变 换(141)有 d惡 其中A满足(1422),故O(m,n)型联络r满足 4冖I"“tbx 由(1422)可知 Ab+ Aa ads 7扣a 而根据512联络的定义可知r必须适合条件 (1423) 用ca乘上式便可得出 ma 6d+ radneb =0 (1424) 这里应着重指出的是,由于(1413),如果一个张量的方 程对于自然标架是成立的,那么对于任意的标架也成立,例 如,对于黎曼联络的 Bianchi恒等式(1318)对于一般的标架 仍然有 rbd: e+ rode: s t rge 其中 R&d= Risepeibyekeyet R:是对自然标架的黎曼曲率张量,又例如,对伪正交标架 而言, Einstein方程1319)为 24
R a R+A 但值得注意的是,黎曼曲率张量对于v不再是(13.)的形 式因为;不是原来§12意义下的联络,而r才是.现在 e;) (1425) ark 对于此联络,曲率张量 R erc(6 arg 8 +rⅠ没一r1 因此 R i 6(r;c{d) 6(T ax yuri -maria- taek + rset ark 此即 Rid=Xri"%+rtdrfe-rbria-rycid,(1,4.26) 其中 , art ark (1427) 由于一般的标架包含了自然标架,今后我们在讨论张量 时,是指一般的标架,不再特别对自然标架给以特殊的符号或 指标,例如说曲率张量R则是指一般标架的曲率张量而 515外微分运算 在上节中,我们使用标架来研究微分几何,其原因是因为
与扃部坐标的选取无关,但与标架的选取却仍然有关。现代 做分几何学的符号与古典微分凡何学符号的区别在于对前者 的符号选取中,不但希望与坐标的选取无关,并且与标架的选 取也无关,这样便于对大范围微分几何的研究。所以在本节 中,我们讨论外微分运算之前,首先介绍现代微分几何学常用 的符号但实际上本节仍限于讨论局部的运算 设M是一个集合,它的点与R的开集V的点是一一地对 应的。M中的集合如对应于v中的开集称为开的.如p∈M, 对应x(p)=(x1(p,x())∈V则x(抄)称为P点的坐 标,由于x:M→是一一对应的,其逆映照以x:→M 表示。我们说函数k()在M上连续,即駟x-1在V连续,h(P 在M上可微分,即hx在V上可微分等 令表示所有在M的户点可微分函数,即f界必 有P点的一邻域使得f在此邻域内可微分,映照X:9p→R 称为p点的向量,如果适合下面两个条件: i)X(g)Xg+gK,f,g∈另 (i)X(xf+pg)=1Xf+uXg,λ,p∈R. 若,HER,定义X+pY向量为(λX+Y)〓xx +pYf,∈sp则所有p点的向量成一线性空间Mp.M称 为夕点的切空闻间 取g=1,由(i)可知X〓fx1+Kf,故有 X1·0 设f屏pq是户邻域的点,它们的坐标分别为x() 与x(q)=y.令冖fx-1.由于 (y)=f*(x) d f*(x+ry=)de
此即有 八q)=代()+(y(q)-xi(p)g(q) (1.5,1) 由于x(p)是固定的 Xf(p)=f(p)X1=0, 因此有 (x)(p) 6(x)(Xx) 令 Xx〓§(x),得出 此式表示X∈Mp对应有一x∈V的在51.1意义下的向量 (x).M?与§1.1中线性空间Tx是同构的 是Mp的 组基称为自然基。 如c是v中一组标架,令 X (152) 则X1……,Xm是Mp的一组基,向量X可写成 X=5“Xa5=5c, 其中5是对于标架ct的S14定义下的向量,因此现在定 义的向量与坐标及标架的选取无关 x称为M上的可微分向量场,如果§(x)一Xx2是在V 可微分的,根据定义。X。是可微分的向量场 若X,Y为可微分向量场,很容易证明[X,Y]=XY YX是一可微分向量场 令M表示Mp的对偶空间.M的向量o:Mp→R 称为一次微分式或简称一次式,令张量积
分(p曰M2…的M28M②…区M 次 次 多(p)的元素T称为r阶逆变,s阶协变张量,如果 {X}是Mp的一组基;a"∈M#(a=1,…,m)称为K的 对偶基,若适合 53) 因此张量T能写为 TX囚…囚X⑧m·…mb 其系数T是14意义下的张量.对每一r∈P)定 义拓扑积M×…xM×Mp×…×Mp的一多元线 次 次 性函数如下:设 61,“,0∈M当,Yt…,Y,∈Mpy 则 T(1…,0,Y1,……,Y) T2:6(X)…B(X4)2(Y1)…(Y).(154) 设u是坐(p)的张量,X1…,X∈Mp.如张量有如下的 性质: 6(X 无1 Xi) ro(p…,8,),当(k,…,死)是(1,…)的偶排列, (x1y……,X),当k…,)是(1,…,)的奇排列, (155) 贝称为点的r次外微分或简称r次式,令 r14o(x()"a(0 (156) 则ax是51意义下的r阶协变张量,对指标k……是 反对称的,所有在P点的r次外微分式所组成的线性空间命 28·