031 dx∧0+ ∑ dama dr“∧ x drn e 由此可见,甲不包含dx”,并且如-d=0.但由 0=d ∧趣+∑dA 便可知 0,即甲不包含x,甲是Rm1的r次式据归 纳法假定,存在r-1次式ψ使g=d,出此得出=q 十d=(+6).定理得证 现设=cdx是M的一组基,r是M上的一线性联 络,令 ooi a Tirdx'a rico 1.5.16 由于 do= Dele dr ndrfe edexsefoco*Au X beier ∧ 有 duo+o: A co=I(r'cb-ree- Ck)co A co", 其中c的定义见(14,27).又由 do=dbco+8dcd=XYbo∧o rge4) Retto∧a′, 1)注意 Poincare引理的成立只要u是C便可以了此外,和山是实解 析的,则解日也是实解析的
有 dct +wAci=t(Xrbd-Xaro+eer rC!)o∧ 据(1220)与(1416)可知 re--Che (15.17) 是对标架c的挠量张量。由(14.26)我们得出E. Cartan的 结构方程 T;a3∧ (15.18) du;+∧o后 Rto·∧4 516算子♂与 在定义算子b与△之前,我们先把线性联络现代常用的 符号介绍一下 给与514意义下的线性联络r,令=3cs,我们可 定义映照vx:乡M)→出M)如下: 若X口X2,Y=qK出M),则 ⅴxY=(Xb十qv)X (151) 由此可知,v有如下的性质:若g∈M),X,Y∈(M), 则 (i)V/+azX=fvX +gVzX, GiiVx Y+gz)=xy+gxZ +X/Y +xgz 反之,若给与vx:②(M)→身M)适合(1),(i),则不难证 明是定义了一线性联络,因为可以令 (162)
我们可以从rre来证明它符合线性联络的定义 从线性联络,可以定义任意张量场T的沿方向x的协 变微分如下 f=Xf,f∈M) (Vxo(Y )=Xo(y)-oovxY) M),Y∈乡YM) (1.64) ⅴx(S⑧T)=VxS⑧T+SvxT, (16.5) S,T是任两向量场。容易证明:如X一§XT=7X :②X⑧o⑧:·ω3,则据(I,4,17)及上面的定义可知 vxT=57歌K⑧…X囟如2⑧……a.(1.66) 令 (X,Y)=VxY-VYX-[X,YI (167) R(X,Y)=ⅴxVy-Vyx-Vxy 其中X,Y∈(M).显而易见,任与f,g,h∈M)有 T(x, gy)=fgT(X,y) R(fX,g)(hz)=ghR(X, Y)Z 其中z∈乡(M).取一组标架{X},据(1.62)可知 T(X,,X,)=TaXe, R(X,X,)X =.R4bX,, 其中T与Rh6分别是由(15.17)与(1426)所定义的挠率 与曲率张量 现设M中给与二阶协变可微分张量场G=Bedx囚dxr 设它是对称的即G(X,Y)=G(Y,X)任与X,Y∈乡(M) 并且是d(g)卡9 定义 KX,> G(X,Y) (168) 我们要证明 定理1.6.1存在唯:一的线性联络ⅴ适合 36
(i挠率为0; (i)vxG=0,对任一X∈(M) 证由Bt定义的 Christoffel符号,}可定义线性联络 af ki]aris 则ⅴ显然满足条件().而由(1230)可知(i)亦满足。 反之,令 , x 则由()知挠率张量r=02即F〓P;出(i)可知 0 08G art ar a axt 此即 0g处則Ⅰ+gH 6x」 故有 0544+ aguL-OgiA =,Iias 6x1 art 这证明I即是 Christoff符号,证毕 适合定理16.1的线性联络称为黎曼联络,它唯一地由 所决定,本节仅用黎受联络定义协变微分 设是M中r次外微分式 ";,dxN……∧dx
由于}对指标,对称,故(151]可写为 kL )! 8"+1,4;dxA……Adx,(16.9) 我们定义的对俱*为m一r次式如下 ∧…∧d (m-r) (1.6,1 其中 √Ig-n,g=(),(16.1) 这里应用(11.9)符号,而 g1··g 我们首先证明 *=(-1)m+gn(g)o, (1612) 其中()表实数r的符号.实际上,由(1.610)可知 幸0 (r!)(m-r)! dxA…∧d 821 ag r 1 dxA…∧dxb g (r!)2 83g:…“adx年A…Ad r!)2 “a“dx2A……Adx mtC-1mftrsgn(g )co 其次,如有另一r次式