所以 2( 注:若由xn-=(+x(2+x xn-x|<子|x-xt,从而∑(x-x)绝对收敛而得|x}收敛 l6设zo=1,x=1+1-,(n=1,2,…).证明{xn}收 敛,并求lmx 证已知xn>1(n=1,2,),且当n=2时 这就是上剧中脱说 1+ 1+1+x2 1 <2 的例子 (1+ x,2)(+x,,,n=4,5, 本题实际上是 故数列{x2-1}和|x2}均单调而 连分式 2 x2=1+=是>x,故|x|单调减;而zn|单调增 又1≤xn≤2,有界故两奇偶数项的教列都收敛,而它们满足同一 递推式故只要求|x2-1}的极限值,设 ix2m1=A则得方程 A2-A-1=0 无论n为偶数或奇数,x都收敛于同一个极限故 1-69设{xn}满足:-1<x0<0,xm1=x2+2xn(n …),证明{xn}收敛,求 lim r 解x1=x3+2x0=(xo+1)2-1 1<x0<0 1<x1<0 设-1<x<0,则由x+1=(x4+1)2-1得 1<xk1<0 由数学归纳法得知,对一切自然数n有 1<xn<0
2 所以型出=石+2>1,从而xn<x,敏1}单调减少且有界,物,是小于 注 所以{xn}收做这时有 x+1 2 注意xn是单 结合题给条件可得 的,不可能以上界 lim x =-1 为极限. 1-70设x1=a,x2=b,x+2= ,(n=1,2,…), 试求lm3 x+t十x 无n+2 这种形式的 推关系便于计算 所以当n≥3时, 2(xn,-x)=(-2) 这里用了较为 简单的表示科的 法请比1.28中 和的表示法 3(-)[1-() (2b+a) 171设x1=a>0,x2=b>0,xn+=√xn1x(n= 1,2,…),求lm 解令a=hnx1=lha,B=lnx2=hmb 取对数构遗新 数列,再利用 于 4n+ 170结果 所以 InTm+?=2(hnxm+hnx),(n=1,2,) 于是 limine,=(2B+a)
1-72若存在M>0使{xn(n=12,…)满足 具有性质 <M 证明{xn}收敛 <M的数列 icaI 12, xx-Zk I )称为有界变差 由条件易知{yn}单增且有界,所以lyn↓收敛 数列 从而对任意给定的e>0存在N,当n>N时,有 p-yn|=∑|x-x-1<e,(p=1,2,…) 本段是做等价 的数半语言潮译 那么 <e,( 为下段做准备 由柯西收敛原理知{xn}收敛 利用上&结果 本例说明:有界变 注:其实本题是利用证明级数万(a-21)绝对收敛从面导出数列{|收差數列有概限 敛的一种证明方法 173用极限定义证明:若imxn=A 则 A 所以对任意给定的c>0,存在N1>0,当n>N1时,有 A|< 从而当n>N1时, 这悬数学上常 x1+x2+…+ 采用的截段法,分 别估计各段的值 x1+x2+…十x 注意必须找到 (xN,t-A)+…+(xn-A) 公共的N,才能使 下面的两个不等式 <M+2N,(M=|x1+x2+…+21-NA|)成立 M+号 取N 2M N时
由当n>N时,必有 A< 1-74设xn>0(n=1,2,…),且lmxn=A 则lim√ 解xx>0, lim x=A, 极限的性掀 所以A≥0 (1)若A>0,则imnx,=hnA lmx1x2…xn lnx1+hx+…+lnx 参思1-73. exp(InA)=A (2)若A=0, 因为 十xn 而m1+++x=A=0 所以 综上所述,总有 1-75设数列1x},满足递推关系式x1=∫(xn),其中函数 f(x)在a,b]上满足: 这是着名的压 (1)a≤∫(x)≤b,对Ⅴx∈[a,b 给唤象原,题 (2)1f(x2)-f(x)|≤a|x2-x1(0<a<1),其中x1,x2是165,16 是[a,b]中任意两点则对x1∈[a,b],有{xn}收敏于方程x=167和168诸题 f(x)在[a,b]中唯一的解 的个点结 解由(2)知f(x)在[a,b]上连续,而 lIm+2 -Im+= f(m+0-f(r)< Im+ 故由达朗伯判别法则知级数∑(xm1-xn)绝对收做因此数列{xr 收敛,从而
limE,+ f(limx 即极限值是方程x=f(x)的根,下面证明唯一性若还有y∈[a,b], 使则即 y x-yI=lf(r)-f(y)Isai (1-a)|x-y≤0 故只有x=y 1.2、3函数极限 1. 用定义证明极限 对左端的式子 3r 适当放大,使最后 证因为 只含有常数与 x-2|的乘积形 取1=12,令0<|z-21<12,这时 式先确定自变量 的某个变化范围 x-1|=|(x-2)+11≥1-1x-2|> 这种思想在用定义 从而当0<|x-2|<12时 证明的极限中常常 用到 <6|x-2 所以对任意给定的c>0,取δ=min{,%,当0<|x-2|< δ时,必有 4|< x2-3x+ 177证明回m+x不存在 利用左、右极限 不等就至少有一个 正m 不存在,是证明原 e +e lin +1 -2cT 极限不存在的一种 lim im 方法 e 所以 不存在 求下列极限 4+32 (1+x)-(1+5x)