所以 159求下列极限 31) M 1)limnwVa-1)=limn(eta-1 先换 =e,再利用 等价无穷小的代 换当x→0时, 十 +1 还是先挑底挑 lim nIn 成e为账的形式, 再利用等价无穷小 即mn-1)+(7-1)1 量的代换 当x→0 in5+In7 1+x)~x. 注意解法中的 3-3 变形技巧,量后还 3n2(3x+-1) 是等代 肴读者都这 1)(用到lm3吨=1) 十 1-60设 0 (n=12,…),求 解对任何自然数n有 注 0 十·· 所以 b1十b2十…十b 令b。=amn-a,(n=1,,…),则{b}是公比为1/3的等比数列故是经常被用的方 当n≥2时 法
+b1+b2 1+1+3 1+2(1-3) 1-61设x1=1,xn+=√2xn(n=1,2,…), 求lmx 解 先利用递推关 蠢式算出般项的 表达式,再求极限. I, 1= lim 25+2*2 21 1-62求lm 2n! 解1令xn=2”n!/n 请参看题1.14 因为xn ≤1 的旁注 所以{xn单调下降又x>0,所以{xn有下界故{xn}收敛 所以 lim r =o 解2 limit 利用级数收做 的必要条件来求某 所以 2”n! 收敛 些极限也是一方 法 0 163试证数列xn=2 13 8×…×(3n (n=1,2,…)收敛,并求极限
证xn,=3 从某项起列 单调有界则必歌 所以当n>20时, 敛. 0<xm1<方x<x 故{x。收敛 lim In+1=lim3n +2 im En 所以 0 1-64设x=0,xn=1+sin(xn1-1)(n=1,2,) 构造一个新的 证明{x}收做并求lmxn 促于研究的量列 解设 1,则 把它新 (n=1,2,…) 究章列。这包是 1≤sin≤1,y=-1 数学上常用的法 所以 之一.本则用到 1≤yn= sIny-1<0 Ux-1 s siny -1=y, (n =1, 2, sinx的两个性质, 当 故|yn}单调增加且有上界,所以收敛 因而 n 所以 snx<0及x<0 lim n= lim(y, +1)=1 时,x<snx.这里 用驯x。<1所 以,(xn-+2)< 2故 165设 2)(n=1,2,…),试证 limx。存在 证1xn1-xn=2 +x-+1/sn 而0<xn=sn(xn1+2)≤1(n=1,2,…) 利用条件x0=0 是维 所以 0<型≤
因而 cos(-+1>0 又易验证 0<x1-x0<1 所以 再用xn1-x,≤ 推出 从而 xn+1-xn>0,(n=0,1,2,…) 即{rn}单增且有上界,所以{n}收敛 T2|=a+1-r.=2cos(za+2n-1+ 2 xn一x-1 依次循环递推 不等式 xn1-xn|≤1x1-x01 故当p取自然数时, 参见154旁注 xp-xn|≤|xm-x|+|xn2-x1+…+|xn+,-xn+pl 等比数列求和后再 放大不等式 x0|+n|x1-x0+…+n|x1-xa 从面对任意给定的c>0取N=[m1m12]+1,当n>N 时,就有 即{xn}收敛 证3因为xn=∑(x-x-1),故只要证明∑(x4-x-1)收 利用数列与缀 数的关系是个好技 敛由上面知212=5,由达郎伯判别法知此级数绝对收敛 巧 1-66设x0=√2,xn=√2 √2 (n=1,2,…),证明 注意北类问题 收敛并求极限 是要在先得到 证x0=√ 1xn}的极限存在 故由xn的递推关系可得 后,才可在遵推公 >√2,(n=1,2,…) 式两边取极限
所以(=(+2) 估计出 悬用 <|xn-x-1|<n|x1-x0 柯西审徽原理的重 要意径得到 <方 所以1x+-x|≤∑|x+-xm1 也可闻 上题用数证明 {xn}歌敛于递推 2 公式两边取极限 户=1,2,…) 并注意到A>0. 所以对任意给定的c>0,取N=[-lng/n2]+1,当n>N时,就有 (p=1,2…) 即{xn}收敛设lmxn=A,可得 A=√2+ √+A 解之得A=(1+√5)2, lim 67设xo>0, 2(1+xn) 如果从章列的 2+x (n=0,1,2,…)韶明|递推关系能得到 {xn}收敛,并求lim 证x0>0,xn+1=1 >1,(n=0,1,2,…) A 当A>0时必有 又 <2,(n=0,1,2,…) xn}单如A< 0,往往有1x2和 而x,-x,=22+xn12+x =a2x,a+2) lx2-1}单调,且如 因此,xm-x与x-x同号(n=1,…),故当x1≥a时x,个单调增,另 单调增;当x1≤x时,{xn}单调减而1<x<2,即{x有界故不个单调减 论x0取何正值,|x}必收敛 设1mxn=A,则有 2+ 2 A= 解之得 合去A=-2