2(+3 1 +1 limt=2 1-48求极限lm[ arctan(n!)×(√n+1-√n)2 有界. 求出和的一般 -1)n)n2-1 形式 解 arctan(n!)≤ 注意极限运算 法则的正确应用 (√n+1-√n)2 (√n+1+√n)2 limarctan(n: )(n+1-vn)2=0 又lim 2 +(n-1 故原式=limn[(√n+1-√n)2 arctan(n (1-1)地3n 149求!mn[(2n-1)+2(2n-3)+3(2n-5)+…+n 化成n个等差 数列的和 解11[(2n-1)+2(2n-3)+32n-5)+…+n] 也可这样求和: (2n-1)+2(2n-3) 1[(2m-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+1 十·十 +(2n-3)+(2n-5)+…+1 k·(2n-2+1) +(2n-5)+…+1] =(2n+1)∑k 耳[(212)+1n+(n2)+1(n=1)++1]×2+1 1[n2+(n-1)2+…+1 n+1)(2m+1 n(n+1)(2n+1) a(n+1)(2n+1)
原式 jimi (n+1)(2 6 解2.lim[(2n-1)+2(2n-3)+…+n] 化成积分和的 限形式,再据 [n2+(n-1) 定积分的定义化为 定积分,从而求出 2(舞) 极限 对于这种和式 150求极限lm n6+2 的极限,我们不易 ≤√n+ 求出它的有限真和 式的一最形式.这 所以 品nn≤品n≤品 时可考用定 到来做 3+(+12=3 原式=删点 求极限lm g1+号+专+…+1 1 ≤n 所以 2+3 盛求极限ya1+a2+…+2(这里a,a1,…,a都是大 于零的常数,更是自然数) 解记 xf a1, 所以 而 lin=1,lim√a 所以皿mya+a+…+a=a=mxa1,a2,…,a}
153设 求lm 注意利用等比 解对每一个k:0≤k≤n-1,有 数列求和公式 参见1-59之1) 1+k +1 ≤xn≤ 1 但 lme=1,lm(n+1)(1-e)=-1 所以lim 154设 n+k,证明{xn}收敛 用单调有界数 证1xn1-xn= 列必收证明 n+1+k n+k xn}收 2n+1+2n+2-n+1 遇到和式用考 相邻两项之差的 2(2n+1)(n+1 方法证单调 (n=1,2,…) 所以|xn}单调增加 又x ≤=1,(n=1,2,) 所以{xn}有上界,{xn}收做 海2对任何自然数n 用柯西收做原 理证{xn}收敛 xn+-x,=2(n+1)(n+1)<4n(n+1 加一项,再减 所以对于每个固定的n,有 项并利用三角不等 xnp-xn|=(xn-x)+(xn+2-xn)+…+(xm+-x) 式进行放大是微学 瓶十妻一了n+k-1 中常用的手法. 4(n+k)(n十k-1 18
故对任意给定的e<0,取N=[1e],当n>N时,有 1<e,(p=1,2, 所以{。收敛 证3因为对任何自然数n有 用类逼准则证 1+1)<<(1+1) 明{xn}收敛同时 得到极限值 所以k(n+2)-l(n+1)<n+1<hn(x+1)-hm 1+1)单调增 ln(n+3)-ln(n+2)<n+2<mn+2)-hn(n+1) 减均以e为极限 In(2n+1)-In2n 故不等式(1)成 In 2n+1 立 <r,<In2 而 lim In 2n+ n+1 =In2 证4皿x=以n十k 用定积分定义 证之同时求出 01 155设x≤a≤y(n=1,2,…),且lm(xn-y)=0 证明lmxn= ≤a≤ 所以0≤y-a≤y“工n 夹逗准则之作 ≤ ≤ 用 但 所以imx;=imy=a
156设{xn}单调增,y%}单调减,且lim(y-xn)=0.证明1请比较本题与 1xn},{ynl均收敛,且 limI.=hiny 上题的区别 证若{xn发散,则必有lmxn=+∞ 这时由m(yn-xn)=0知imy=+∞ 注意单调数列 这与{y}单调减矛盾,故imxn=a存在 的性质 所以 yn lmL(y,-n 17证明x=1+2+3+…+-如m收做 证设yn=1 则 0 In+i-R= 这样我们得到 ln1+]<0 了1-54的证5 >0 所以{xn单减,{yn单增由上题知{xn}收敛 注:记lmxn=C(C称为欧拉常数) 由 nn 而 1++…+六=ln2n+C+ε2 所以 In2 +e 在上式中令n→∞得 In2 18求极限m(1+2+是 利用夹逼准则 时,重要的是要找 解当n>1时 到两个特券的数 2<1+n +气<1 n+n(n-1=1+2 2 列.这就要求我们 多熟意一些常用的 十 数列及其极限