则∫(x)是一个偶函数依题意即求c使 决.若是用解方程 f(6+c)=f(a +c) 的方是难 成立(a≠b) 的请者不妨试 所以 a+c=-(b+c) 求下列函数的反函数 1) y=√x+4 arcsin x<1 1≤x≤2 解1)所给函数的定义域及值域分别是[-2,1], 注意反函竟存 在的条件 由y=√π+4 arcsin ax解得 注意定义城的 故y=√π+4 arcsin x的反函数为 x∈[0,√3r] 2)当x<1时,y=x, 利用几何国形 故反函数为 看反前其义 y=x,x∈(-∞,1) 城更为清笼,遮议 当1≤x≤2时,y=x3 读者你出 故反函数为 f(x)的 ∈[1,8] 当x>2时,y=3 故反函数为 y= log ∈(9 综上所述,所求的反函数为 <1 y=x,1≤x≤8 1-35设a0+a1x+a2x2+…+a8x8=(2x-1), 把系数及一部 a1+a2十…+a7 分系载视视为乖微 解设∫(x)=a0+a1x+…+a8x 在特点的值,比 =(2x-1)° 用二项式系法 则 f(0)=ao=1
f(1)=a+a1+…+a8= 比较原等式两边x。的系数得a8=28 故 =-256 1-36设∫(x)=x/√1+x2,f1(x)=ff(x)] f2(x)=ff1(x)],f(x)=f[fn(x)](n=1,2,…)试求f(x) 的解析表达式 先一步一参复 f(x)=元,三 合,从特殊中归纳 f1(x)=ff(x)]=-K 出一般规律,再用 1+f2(x) 数学法证明 1+2 f2(x)=f[f1(x)] 1+f(x)√1+3x2 般地,可用数学归纳法证明 f, (x)=flf-(x)] 1+(n+1)2(n=2,3,4, 137设对任何x∈(-∞,+∞),存在常数c≠0 使∫(x+c)=-f(x)证明f(x)是周期函数 因为对任何x∈(-∞,+∞)有 证明函效是属 f(r +c)=-f(c) 期的录的关健是 所以对任何x∈(-∞,+∞)有 找到不为号的常数 f(x+2c)=f[(x+c)+c] T这里T=2c =-∫(x+c) f(r) 故f(x)是周期函数 1-38设∫(x),g(x),h(x)是定义在(-∞,+∞)上的单调增 函数,且∫(x)≤g(x)≤h(x).证明爪f(x)]≤g[g(x)]≤ 证因为f(x),g(x),h(x)在(-∞,+∞)上单调增加所以对 任何x1,x2∈( 有 注意复合函数 f(x1)≤f(x2),g(x1)≤g(x2) 的单调性
h(x1)≤h(x2) 又对任何x∈(-∞,+∞)有 f(x)≤g(x)≤h(x) 所以ff(x)]≤∫g(x)]≤g[g(x) g[g(x)]≤g[h(x)]≤h[h(x) 即[f(x)]≤g[g(x)]≤h[h(x) 1-39设∫(x)在(-∞,+∞)上有定义,且对任意 这强则一匙要 ∈ )有 从定义出发去解. ↓∫(x)-∫(y)<|x-y ±[f(x1)-f(x2)] 证明F(x)=f(x)+x在(-∞,+∞)上单调增加 ≤l∫(x2)-∫ 证任取x,;x2∈(-∞,+a),且2>x1,那么由题给条件有我取其对证男 lf(x2)-f(x1)< 结详有用的个 面f(x1)-f∫(x2)≤|f(x2)-f(x1)<x2-x1 所以f(x1)+x1<f(x2)+x2 从而F(x1)<F(x2),故F(x)在(一∞,+∞)上单训增加 122傲列的极限 140直接用极限定义证明 用极限定义证 明limf(n) a(有限)主蛋是造 +3 3+2nn 当放大f(n)a, 所以对任意给定的c>0,取N=[5/e],当n>N时,必有 以求得关子n的 3+ 较为简单的表达 +3|<e 式,这是解题的关 健所在 141求下列极限 利用数列的遵 1)im2(a>1);2)imn(a>1,k∈N) 推关系及单调有界 必有损展这一 解1)令xn=,则 往往可以解决有 乘方形式的 列限. 由于a>1,(n+1)/n→1(n→∞).所以n充分大后(n+1)/ma< 1.即{xn}从某项后单减但xn>0(n=12,3…),故{xn}有下界,从而 xn}收敛由极限运算法列得
lim r lim 2 +1 lim 0 2)用与上题相同的做法,我们可以求得此题的极限为零.现在 由此可见熟练 我们换一种做法 地运用极限的运算 a>1,>1 法则及多知道一些 极限的值可简化求 故 另一些极限的步 142证明 多见141题这 1) lim Vn=1; 2) limNa=1(a>0) 里我们环 证1)因为当a>1时,lmn/a=0,所以对任意给定的 地证明问题.使各 问题密切联系,因 (1+)=0,因而存在N当n>N,必有 <1,面求解过程更简 即 n<1+c 而 Vn≥1 (n,12,…) 所以当n>N时,必有 Vn-1|<e 故 lim Vn=1 2)若a=1,则lma=1 若a>1,则 (n>[a]+1) 由夹逼定理及1)的结果知 若0<a<1,则b=1a>1,所以 血=上号=方=1 1-43设xn= (1-)(-3)(1-1)求mx 连柔式首先要 变形约去公因子, =2-1×3-1×…,×n-1=1 化简后再求极限. =0
1-44计算lmn(√n2+1-n) 有理化分子也 是求极限的好方 解mn(n2+1 n2+1+n 2++方十… 分子、分母为是 1-45设xn 3 2 等比数列的邮分 和.先利用求和公 式求出各自的和, 2+÷ 然后再求极限 ×上塔 (×113) 2+ =10 1-46设x=++… ,求lmxn 这种分解法非 常有用,它有利于 1=( 求出和却式的简 单表达式 x=[(1-3)+(3-3)+…+(2n1-1-2n+l] 2(1-2n+) 故 1-47设xn=1+1+2+1+2+3 注意和式中每 1十2十…十n 项的分母是等差 求lmxn 列的部分和.先由 1+2 +nn(n+ 求和公式得转果, 然后再选行分解, 1 n(n+1 达到化商目的 所以xn=1+ 2×3