故选(D) 注取xn=n,y=↓,知(A)不正确 取x=1=(212n,=1-(212”m,知(不正确 2,y=n,知(C)不正确 19设x→0时,e-e与x"是同阶无穷小,则n为() (A)5(B)4(C) (D)2 此题主要是利用 解因为e-e=e[e“1)-1] 等价无穷小的代 而当x0时 换也可用洛必达 法则解之,但工作 1~x(c8x2-1) 量大 所以 1-20当x-0时,下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷 小量是() (C) (A)ln(1+x) (B)e-1 (C)tanr-sinx (D) 1-cosr 解因为lim n(1+x) 本题中给出的 (A),(B),D)三个 无穷小是最常见 的无穷小量.一定 駟1x= 要熟练事强,灵活 tan→sinx tanr(1-∞o8x) 应用 故选(C) 1-21设x^0时,e-(ax2+bx+c)是比x2高阶的无穷小,其 中a,b,c是常数,则(). (B) (A)a=1,b=2,c=0(B)a=c=1b=0 (C)a=c=2,b=0 (D)a=b 解由题意得 本题主要利用极 e-(ax2+bx+c)]=0 限的四则运算定 理.也可用洛必达 所以 法则解之
又 即 所以b=0,a=1 12已知加m(x+1ax-b)=0其ab是常数,则() (C) (A)a=b=1 (B)a=-1,b=1 C)a=1,b=-1(D) b 利用b是常数 解由题意得 及极提运算法确 定出a.然后代厨 +1 式再确定出b x+1 a,存在所以 1-a=0得 故b=lim +1 1-23设limf(x)及lmg(x)均存在,则lm 系3 请者自己半例 说期 (A)存在 (B)不存在 (C)不一定存在(D)存在但非零 1-24设f(x)和g(x)在(-∞,+∞)内有定义,∫(x)为连续函 本题主要利用连 数,且f(x)≠0,g(x)有间断点,则() (B)|续函数的运算法 (A)g[f(x)]必有间断点(B)g(x)/∫(x)必有闻断点 (C)[g(x)]2必有间断点(D)f[g(x)]必有间断点 解若F(x)=x为连续函数,则 g(x)=f(x)F(x) 必为连续函数,矛盾.故选(B)
125设函数(x)=lm,工讨论函数f(x)的间断点,其结 先求出函的表 论为(). (B)达式再考查分断 (A)不存在间断点 (B)存在间断点x=1 点处的左右极限 (C)存在间断点x=0(D)存在间断点x=-1 注意lmx=0 解因为f(x)=lin1+ (|x|<1) 1+x,-1<x<1 |x{>1) x≤-1或x>1 故选(B) 1-26设∫(x ,则() Sinc (A)有无穷多个第一类间断点(B)只有1个可去间断点 (C)有2个跳跃间断点 (D)有3个可去间断点 解显然x=-1,0,1是f(x)的3个间断点因为 sinr lim=-1 其余间斷点是 第二类的 imx2-x=lmn(y-1)(y-2)=-2 I SInT SInny 作变量代换y= 故选(D) 1.2非客观题 1.2.1函数及其性质 1-27试求下列函数的定义域 对应法则和定 1)f(x)=lg(1-Igx); 2)fx)=atxy,x】义城是函影的两个 表示不超过x的最大整数 基本要素.应当养 解1)要使∫(x)有意义,x应满足 成这样的习惯:遇 x>0且1-1gx>0 到函戴就要注意它 即 0<x<10 的定义城 故∫(x)的定义域为(0,10) 2)要使∫(x)有意义,x应满足
1≤≤1且[x]≠0, x-1<[x]≤x 当x<0时 0<r≤1 当0≤x<1时,【打无意义 当x≥1时,1≤ 最后一个不等式的等号仅当x∈N时成立,故∫(x)定义域为{x x<0或x=1,2,3,…} 1-28设f(x)的定义域是[0,1],试求f(x+a)+∫(x-a)的 定义域(a>0) 解由∫(x)的定义域是[0,1]得 0≤x+a≤1 0≤x-a≤1 这些不等式由 即 a≤x≤1-a 构成复合的 a≤x≤1+a 鼎得到 故 a≤x≤1 从而当a=1-a即a=12时,函数仅在x=12一点有定义; 当0<a<12时,函数的定义域为[a,1-a];当a>12时无解即 定义域为空集 1-29设f(x+2)=2xx-x,求f(x-2) 本则主讨论 解为了求f(x-2,先求f(x)我们先给出求x2)的两种方对应法则,且以复 合激为主 配方法 1)∫(x+2)=2(3--(x+2)+2 所以 f(r) 2-4一工 变量代换法 2)令x=t-2,代人得 f(t)=224-t+2 所以 f(x)=2 +2 f(x-2)=2x2y2+-(x-2)+2 +4 1-30设 两个敬是否 x2,x≥0 可以构成合函 f(r) P(x)=Inc e,x<0 数要根据复合函
1)求fg(x)]及其定义域; 数的法则分别考查 2)可以复合成形如pLf(x)]的函数吗? 这两个函微的定义 解因为g(x)的定义域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞),而{城及值城 f(x)的定义域是(-o,+∞)所以g(x)的值域在∫(x)的定义域 内故f[p(x)有意义,因而 g(x)={°(),x)>0 e2),g(x)<0 fio(x)] 复合函数中内 0<x<1 层国数的值境与外 从上式可看出f[g(x)]的定义域是(0,+∞) 层函的定义城之 2)由于f(x)的值域是(-∞,0],p(x)的定义域是(O,+∞),交集必须是非空 它们无公共的部分,所以不能复合成形如p[f(x)]的函数 集 13设 复合函类似 x/>I(x)≈{2-x2,|xl≤1 ,|x|≤1 代代人”.但要注意 定义城的变化复 求1)p[q(x);2)g[ψ(x)] 合后录好写下复合 解1)因为当x∈(-∞,+∞)时,0≤9(x)≤1 函的定义城 g[q(x)]≡1 ∈( 2)因为g[y(x) 1,p(x)≤1 0,|(x)>1 而仅当 lx!=1时,ψ(x)=1 x1≠1时,1<yx)≤2 故 q[中(x)]= lx|≠1 易知[(x)的定义域是(-∞,+∞) 1-32试说明f(x) 0≤x≤1 本题说明分段 1<x≤2 函数也有可能是初 是一个初等函数 等函微 解因为∫(x)=1-|x-1 √(x-1)2,x∈ 所以由初等函数的定义知f(x)是一个初等函数 1-33求c的一个值,使 (6 +c)sin (b +c)-(a c)sin (a +c)=0 此解法巧妙地 这里b>a,均为常数 运用了函效的奇偶 解令∫(x)= Esin 性,使问题得以解