《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案04

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年9月10日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 9 月 10 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础授课章节.3方差和协方差传播定律（2）了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用。目的要求重点难点方差传播定律非线性函数的方差1.3方差和协方差传播定律（2）复习上节课讲三、随机向量函数是非线性的情况的内容（约5分钟）1、设有观测值向量X的非线性函数z=f(X)=f(x,x2,x,），且随机向量X的方（约40分钟）差阵是Dxx，求随机函数=的方差。解：假定观测值X的近似值是X°=（xx2，x），对=进行泰勒展开有：1X2z = f(xj,x2,-x,)af= f(x,x2,...)+(x,-x)+二次项ax,令k,= K=(k,k,...k), ko=f(xo,x2,x)-kxax,lxe则有z = f(x1,x2,--xn)=kx,+kx2 +...k,x.+k.=KX+ko这样α?=KDxxKT。解毕。如果令dx,=x,-x, dX =X-Xo, dz=z-f(x,x,.x)k,dx,=Kdx，而在上边求z的方差时，只是用到系数阵K。则函数z的全微分是：dz=i=l所以为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。第4次第1页

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 1.3 方差和协方差传播定律（2） 目的要求 了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用。 重点难点 方差传播定律非线性函数的方差 1.3 方差和协方差传播定律（2） 三、随机向量函数是非线性的情况 1、设有观测值向量 n1 X 的非线性函数 ( ) ( , , ) 1 2 n z = f X = f x x x ，且随机向量 n1 X 的方 差阵是 DXX ，求随机函数 z 的方差 2  z 。 解：假定观测值 n1 X 的近似值是 T n n X (x , x , x ) 0 0 2 0 1 0 1 =   ，对 z 进行泰勒展开有：   − + 二次项         = + = ( , , )  ( ) ( , , ) 0 0 0 0 2 0 1 1 2 i i i i n n x x x f f x x x z f x x x   令 0 X i i i x f k   = ， ( , ) 1 2 1 n n K = k k k  ， = − 0 0 0 2 0 0 1 ( , , ) n i i k f x x x k x 则有 1 1 2 2 0 0 1 2 ( , , ) k x k x k x k KX k z f x x x n n n = + + + = + =   这样 T z = KDXXK 2  。解毕。 如果令 0 i i i dx = x − x ， 0 dX = X − X ， ( , , ) 0 0 2 0 1 n dz = z − f x x x 则函数 z 的全微分是： dz k dx KdX n i = i i = =1 ，而在上边求 z 的方差时，只是用到系数阵 K 。 所以为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。 这里上表 指的是矩阵的转置，则（1.1.1）式又可表示为 (1.1.3) 更为一般地，当观测值 ， . 的可信赖程度不同，即为非等精度，而且顾及它们之 间内在的关联时，最小二乘原理可表示为 复习上节课讲 的内容 （约 5 分钟） （约 40 分钟） 第 4 次 第 1 页

2、设有观测值向量X的非线性函数向量z,=f.(X)=f(x1,x2,"xn),i=1,2,t，且随机向量X的方差阵是Dxx，求随机函数向量Z=（zi,=2z）的方差阵DⅡ。解：对非线性函数进行全微分有of.(af.af.dx, +dx,,i=1,2,..dz.dx,+(ax2)0(ax,)ax)应af,afoaxOxOx,Zaf,afaf,-7ax,力0af.fOx则dZ=KdX，Dn=KDxKT。解毕。练习题（做例题约45分钟）[1]在某一个三角形中，各个角的中误差分别是土4”、土3”、土2”。求此三角形三角和、及其闭合差的中误差。[2]已知相互独立的三个方向观测值L,L,L,的方差均为α2。求角度α=L-L、β=L,-L2、=L,-L,的方差和协方差。[3]设有独立观测值,L其方差分别为、α,有随机函数x=+L,、=-L,。求x和y的方差和协方差。[4]】已知方向中误差是α，而角度为两个方向之差，若视各角度相互独立。求n边形内角和及其闭合差的限差。[5]设有两组观测值的真误差如下：I1,0,2,-2,-1；II-2,3,-2,2,-3，已知每组内观测值独立等精度而两组观测值之间相关。求这两组观测值的方差、协方差的估值。[6]已知常系数列矩阵A、B和C，随机向量L的自方差阵是Du，并有随机向量的函数x=AL、y=B"L、z=CTL。求x、y和≥的方差和协方差。nxl :nxlnxl[7]已知一组观测值L,L,,.L,，其方差阵是Du=I,有函数x=Sb.L.i=li=laxn第4次第2页

2、设有观测值向量 n1 X 的非线性函数向量 z f X f x x x i t i = i ( ) = ( 1 , 2 ,  n ), =1,2,  ，且随机 向量 n1 X 的方差阵是 DXX ，求随机函数向量 T t Z (z ,z , z ) = 1 2  的方差阵 DZZ 。 解：对非线性函数进行全微分有 n n i i i i dx x f dx x f dx x f dz 0 2 2 0 1 1 0           + +           +           =  ，i =1,2, t 令               = t z z z Z  2 1 ，                                                                                                                 =  1 0 2 0 0 0 2 2 0 2 1 0 2 0 1 2 0 1 1 0 1 n t t t n n t n x f x f x f x f x f x f x f x f x f K        则 dZ = KdX ， T DZZ = KDXXK 。解毕。 练习题 [1] 在某一个三角形中，各个角的中误差分别是  4、 3、  2 。求此三角形三角和、 及其闭合差的中误差。 [2] 已知相互独立的三个方向观测值 1 2 3 L ,L ,L 的方差均为 2  。求角度  = L2 − L1 、  = L3 − L2、 = L3 − L1  的方差和协方差。 [3] 设有独立观测值 1 2 L , L ，其方差分别为 2  1 、 2  2 ，有随机函数 L1 L2 x = + 、 L1 L2 y = − 。 求 x 和 y 的方差和协方差。 [4] 已知方向中误差是  ，而角度为两个方向之差，若视各角度相互独立。求 n 边形内角 和及其闭合差的限差。 [5] 设有两组观测值的真误差如下：Ⅰ1,0,2,-2,-1；Ⅱ-2,3,-2,2,-3，已知每组内观测值独立等 精度而两组观测值之间相关。求这两组观测值的方差、协方差的估值。 [6] 已知常系数列矩阵 A 、B 和 C ，随机向量 L 的自方差阵是 n n DLL  ，并有随机向量的函数 1 = n T x A L 、 1 = n T y B L 、 1 = n T z C L 。求 x 、 y 和 z 的方差和协方差。 [7] 已知一组观测值 L L Ln , , 1 2 ，其方差阵是 D I n n LL =  ，有函数 = = n i aiLi x 1 、 = = n i biLi y 1 。 求向量 的方差阵。 [8] 已知函数 ， ， ， 的中误差是 。求 、 、 的方差和协方差。 （做例题约 45 分钟） 第 4 次 第 2 页

课堂教学小结：1.非线性数方差的传播。2.干例说明。第3页第4次

课堂教学小结： 1． 非线性函数方差的传播。 2． 举例说明。 第 4 次 第 3 页