四薄板的垂直轴定理 设刚性薄板平 面为xOy面 J =r dm m =[(x2+y2)d =xdm+ly'dmJ,+J 2006-3-15
2006-3-15 16 四.薄板的垂直轴定理 ∫ = m J z r d m 2 ∫ = + m ( x y )d m 2 2 设刚性薄板平 面为 xOy面 x y z O dm r v ∫ ∫ = + m m x d m y d m 2 2 = J y + J x
例2求半经为R质量为m的均匀圆环, 对于沿直径转轴的转动惯量 解:质量线密度为 kDm = 2TR 取质元dm,距转轴r dm=ndi=arde r=rcos e 2006-3-15
2006-3-15 17 [例2]求半经为R质量为m的均匀圆环, 对于沿直径转轴的转动惯量 对于沿直径转轴的转动惯量 R θ dθ 解： r dm 解：质量线密度为 R m π λ 2 = 取质元dm，距转轴r dm = λ d l = λRdθ r = Rcosθ
dm=ardo r=Rcos 8 kdm J=「r2dm R 7/2 =2 cos0/Rd0 =2R3z=-mR2 2 2006-3-15
2006-3-15 18 ∫ ∴ = m J r dm 2 ∫− = ⋅ 22 2 2 2 cos d π π R θ λR θ λ π3 = R 2 2 1 = mR dm = λRdθ r = Rcosθ R θ dθ r dm
另解:对过环心并与环 垂直的转轴的转动惯量 J=「R2dm Rx Rdm=R 由垂直轴定理J2=J+Jy 根据对称性有J、=J J=-m =-mR 7 2006-3-15 19
2006-3-15 19 *另解：对过环心并与环 对过环心并与环 垂直的转轴的转动惯量 垂直的转轴的转动惯量 ∫ = m J z R d m 2 ∫ = m R d m 2 2 = mR x y R 由垂直轴定理 x y 根据对称性有 J = J Jz = Jx + Jy x z J J 2 1 ∴ = 2 2 1 = mR 2 2 1 J = mR
例3]长l、质量m的均匀细棒放在xoy 平面内,棒与c轴成30角,其中心在 O点。求它对x和y轴的转动惯量。 解:质量线密度=m/ 取长为d的质元 dl S十 2 dm 30 =yndI 2006-3-15
2006-3-15 20 [ 例3] 长 l 、质量 m的均匀细棒放在 的均匀细棒放在xoy 平面内，棒与 x轴成30 0角，其中心在 O点。求它对x 和y轴的转动惯量。 轴的转动惯量。 解：质量线密度 y o 30 x y z λ = m l 取长为 dl 的质元 ∫ = m Jx y d m 2 y l l d 2 λ ∫ = d l