◆傅里叶级数 三角级数 +∑(an2 cosnx+ b sinx) 称为傅里叶级数,其中a02a1,b1,…是傅里叶系数. ◆定理(收敛定理狄利克雷充分条件) 设(x)是周期为2n的周期函数,如果它满足 (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则(x)的傅里叶级数收敛,并且 x是f(x)的连续点时,级数收敛于x) 当x是x)的间断点时,级数收敛于(x-0)+f(x+0 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理(收敛定理 狄利克雷充分条件) 设f(x)是周期为2的周期函数 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛并且 当x是f(x)的连续点时 级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时 级数收敛于 [ ( 0) ( 0)]. 2 1 f x− + f x+ 下页 ❖傅里叶级数 三角级数 = + + 1 0 ( cos sin ) 2 n n n a nx b nx a 称为傅里叶级数 其中a0 a1 b1 · · ·是傅里叶系数
例1设周期为2m的函数(x)在[,m)上的表达式为 1-丌<x<0 f(x)= 0<x<丌 将x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道fx)的 傅里叶级数收敛.当x=k时傅里叶级数收敛于 f(x-0)+f(x+0)2 (-1+1)=0 当x≠时级数收敛于fx) 和函数图形 O 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 和函数图形 f(x)的图形 例1 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为 − − = x x f x 1 0 1 0 ( ) 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. ( 1 1) 0 2 1 [ ( 0) ( 0)] 2 1 f x− + f x+ = − + = . 当x=k时傅里叶级数收敛于 当xk时级数收敛于f(x). 下页
例1设周期为2m的函数(x)在[,m)上的表达式为 1-丌<x<0 f(x)= 0<x<丌 将x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件,由收敛定理知道fx)的 傅里叶级数收敛.因为傅里叶系数为〉〉 an2=0(n=0,1,2…),b2={nz n=1,3,5, 0n=2,4,6, 所以(x)的傅里叶级数展开式为 f(x)=sinx+sin 3x+...+ 2/-si(2k-1)x+…] (-∞<x<+∞;x≠0,土丌±2x,……) 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 所给函数满足收敛定理的条件 由收敛定理知道f(x)的 傅里叶级数收敛. 因为傅里叶系数为>>> 所以f(x)的傅里叶级数展开式为 sin(2 1) ] 2 1 1 sin3 3 1 [sin 4 ( ) − + − = + + + k x k f x x x . = = = = = 0 2, 4, 6, 1, 3, 5, 4 0 ( 0,1, 2, ), n n an n bn n (−<x<+; x 0, , 2, ). 下页 例1 设周期为2的函数f(x)在[− )上的表达式为 − − = x x f x 1 0 1 0 ( ) 将f(x)展开成傅里叶级数