性映射 定义(线性映射) 设为数域K上的线性空间,φ:V→U为映射,且满足下列条件 q(a+β)=q(a)+qp(B),(va,B∈V) qp(ka)=kq(a),(va∈vk∈K) 则称q为(由V到U的)线性映射。当U=V时,称φ为V上 的线性变换 数域K上的线性空间V到V的线性映射的全体记为C(VU),V上 的线性变换全体记为C(V)。 设q:V→U为数域K上的线性空间V到凵的线性映射, 若q是1-1的:即q(x)=9(y)意味着x=y,则称q为单射 Q若q是到上的:即{q(x)|x∈V} 则称φ为满射; θ若φ即是单射,又是满射,则称φ为双射,也称为同构
p ê EƵÁ 5N 5NVg ½Â (5N) ê K þ5m§ϕ : V → U N§ ÷ve^µ 1 ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β), (∀α, β ∈ V)¶ 2 ϕ(kα) = kϕ(α), (∀α ∈ V, k ∈ K)§ K¡ ϕ £d V U ¤5N" U = V §¡ ϕ V þ 5C" ê K þ5m V V 5N NP L(V, U)§V þ 5C NP L(V)" ½Â ϕ : V → U ê K þ5m V U 5N§ 1 e ϕ ´ 1-1 µ= ϕ (x) = ϕ (y) ¿X x = y§K¡ ϕ ü¶ 2 e ϕ ´þµ= {ϕ (x) | x ∈ V} = U§K¡ ϕ ÷¶ 3 e ϕ =´ü§q´÷§K¡ ϕ V§¡Ó"
性映射 命题(线性映射的性质) 设φ:V→U为数域K上的线性空间V到凵的线性映射,则
p ê EƵÁ 5N 5NVg ·K (5N5) ϕ : V → U ê K þ5m V U 5N§K
性映射 命题(线性映射的性质) 设φ:V→U为数域K上的线性空间V到凵的线性映射,则 q保持零元素,也保持负元:q(0)=0,9(-0)=-q(),vo∈V;
p ê EƵÁ 5N 5NVg ·K (5N5) ϕ : V → U ê K þ5m V U 5N§K 1 ϕ ±"§±Kµϕ(0) = 0§ϕ (−v) = −ϕ (v)§∀v ∈ V¶
性映射 命题(线性映射的性质) 设φ:V→U为数域K上的线性空间V到凵的线性映射,则 ③q保持零元素,也保持负元:q(0)=0,q(-0)=-q(),V∈V; Qq保持线性组合:q(ka+1B)=kq(a)+l(B),Va,B∈Vk,l∈K
p ê EƵÁ 5N 5NVg ·K (5N5) ϕ : V → U ê K þ5m V U 5N§K 1 ϕ ±"§±Kµϕ(0) = 0§ϕ (−v) = −ϕ (v)§∀v ∈ V¶ 2 ϕ ±5|ܵϕ (kα + lβ) = kϕ (α) + lϕ (β)§∀α, β ∈ V, k, l ∈ K¶
性映射 命题(线性映射的性质) 设φ:V→U为数域K上的线性空间V到凵的线性映射,则 ◎q保持零元素,也保持负元:q(0)=0,q(-)=-9(),v∈V; Qq保持线性组合:q(ka+l6)=kq(a)+lq(B),Va,B∈V,k,l∈K q是单射的充分必要条件是q()=0当且仅当=0;
p ê EƵÁ 5N 5NVg ·K (5N5) ϕ : V → U ê K þ5m V U 5N§K 1 ϕ ±"§±Kµϕ(0) = 0§ϕ (−v) = −ϕ (v)§∀v ∈ V¶ 2 ϕ ±5|ܵϕ (kα + lβ) = kϕ (α) + lϕ (β)§∀α, β ∈ V, k, l ∈ K¶ 3 ϕ ´ü¿©7^´ ϕ (v) = 0 = v = 0¶