§2.3R上的 Lebesgue测度 教学目的本节利用§22中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R"上的 Lebesgue测度, Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础 本节要点利用§22一般测度的构造方法可以较快的构造出Lcbe 度. Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue测度的理解 在§2.1和§2.2中讨论了一般测度的性质和构造方法.本节将讨论一个十分重要的情形, 就是n维欧式空间R”上的 Lebesgue测度和 Lebesgue- Stieltjes测度.我们将重点讨论 Lebesgue测度,然后介绍直线上的 Lebesgue-Stieltjes测度 方体的体积我们将要定义的 Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因 此我们先对R”上的方体的体积作一些规定.设是直线上的一个有界区间(开的,闭的或半 开半闭的)用川表示区间r的长度,即的右端点与左端点之差.若是无界区间,则规 定|=+∞.又规定空集也是区间并且2=0.设1,…n是直线上的n个区间称R"的 子集Ⅰ=1×…×为R中的一个方体在直线R和平面R2中,方体分别就是区间和矩 形.若l1,…,J都是开区间,则称为R中的开方体类似可定义R”中的闭方体和半开 半闭方体设=1x…×1n为R中的一个方体,称=1…n为的体积 环上的测度设C是R中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.不难证明C是 个半环(在R的情形是显然的一般情形留作习题).对每个Ⅰ∈C,令 m()= 则显然集函数m在C上是有限可加的并且m(∞)=0.又设是由C生成的环,即 ={4=U1:其中1,…J属于C并且互不相交k21} (见313定理4)对每个A∈R,若A的一个分解式为A=Um,则令
53 §2.3 n R 上的 Lebesgue 测度 教学目的 本节利用§2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用§2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度的理解. 在§2.1 和§2.2 中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情形, 就是 n 维欧式空间 n R 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论 Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间(开的, 闭的或半 开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无界区间, 则规 定 I = +∞. 又规定空集也是区间并且 ∅ = 0. 设 n I , ,I 1 " 是直线上的 n 个区间. 称 n R 的 子集 n I = I ×"× I 1 为 n R 中的一个方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中, 方体分别就是区间和矩 形. 若 n I , ,I 1 " 都是开区间, 则称 I 为 n R 中的开方体. 类似可定义 n R 中的闭方体和半开 半闭方体. 设 n I = I ×"× I 1 为 n R 中的一个方体, 称 n I = I ⋅"⋅ I 1 为 I 的体积. 环R 上的测度 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C 是 一个半环(在 1 R 的情形是显然的. 一般情形留作习题). 对每个 I ∈C , 令 m(I) = I . 则显然集函数m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设R 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A I I I k k k i R ∪ i 其中 " 属于C 并且互不相交 (见§1.3 定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 , ∪ 1 ∞ = = i i A I 则令
m(4)=∑m(1) (1) 由§22引理7,m(A)的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在上的值是确定的 引理1由(1)式定义的上的集函数m具有如下性质 (i)m是有限可加的 (i)m是单调的 (i)m是次有限可加的,即若A1,…,Ak∈咒,则 m∪A4 证明设A,…,4是中的k个互不相交的集令A=∪A1,设A的一分解式为 则A=∪∪是A的一个分解式因此有 m(4)=∑∑m(1n)=∑m(4) 故()得证.利用m的有限可加性,类似于921测度的单调性和次可数可加性的证明,可以 证明()和(i)成立■ 定理2由(1)式定义的集函数m是上的测度 证明由§22定理8,只需证明m在C上是可数可加的.设{}是C中的一列互不相交 的集并且I=U1∈C由引理231,对任意k21成立 m(1)=m(U1)≤m( 令k→,即得∑m(1)≤m(D) 下面证明反向不等式任意给定一个E>0.容易知道,存在闭方体JcI和开方体 J1l(≥1)使得 E m()-m()≤E,m()-m(1)≤,i≥1
54 ( ) ( ). 1 ∑= = k i i m A m I (1) 由§2.2 引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此m 在R 上的值是确定的. 引理 1 由(1)式定义的R 上的集函数 m 具有如下性质: (i) m 是有限可加的. (ii) m 是单调的. (iii) m 是次有限可加的, 即若 A1 ,", Ak ∈ R, 则 ( ) ( ). 1 1 ∑ = = ≤ k i i k i m ∪Ai m A 证明 设 A Ak , , 1 " 是R 中的 k 个互不相交的集. 令 . ∪ 1 k i A Ai = = 设 Ai 的一分解式为 , 1, , . 1 A I i k mi j i =∪ ij = " = 则 ∪∪ k i m j ij i A I = = 1 1 = 是 A 的一个分解式. 因此有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = = k i i k i m j m A m Iij m A i 故(i) 得证. 利用 m 的有限可加性, 类似于§2.1 测度的单调性和次可数可加性的证明, 可以 证明(ii) 和(iii) 成立.■ 定理 2 由(1)式定义的集函数 m 是R 上的测度. 证明 由§2.2定理8, 只需证明 m 在C 上是可数可加的. 设{ }i I 是C 中的一列互不相交 的集并且 = ∈ ∞ = ∪ i 1 i I I C .由引理 2.3.1, 对任意 k ≥ 1成立 ( ) ( ) ( ). 1 1 m I m I m I k i i k i i = ≤ = = ∑ ∪ 令 k → ∞, 即得 ( ) ( ). 1 m I m I i ∑ i ≤ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个ε > 0 . 容易知道, 存在闭方体 J ⊂ I 和开方体 J ⊃ I (i ≥ 1) i i 使得 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2)
(以一维情形为例,若Ⅰ=(a,b],11=(a1,b],则取J=[a+E,b,J1=(a1,b+) 于是 JcI=∪l1cUJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{J}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1,…,Jk.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如,若 J=a+E,b,J1=(a1,b+),则取J′=(a+E,b,J}=(a1,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J由引理1我们有 m(D2=m()smU)∑m)=m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(D)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m(D)=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是界上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度 Lebesgue测度的有关定义: Lebesgue外测度m:由上的测度m导出的外测度 Lebesgue可测集:m可测集 esau 可测集类:(R")(a-代数) Lebesgue测度m:m在(R")上的限制 Lebesgue测度空间:(R",M(R"),m)(完备的,a-有限的 Lebesgue测度和 Lebesgue可测集分别简称为L测度和L可测集 上面我们定义了L可测集和L测度.那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个Borl可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R”)
55 (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i ai bi I = 则取 J = [a + ε ,b] , ) 2 ( , i i ai bi J ε = + ). 于是 . 1 1 ∪ ∪ ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J " J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i ai bi J ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b] , ] 2 ( , i i ai bi J ε ′ = + ). 由 于 . 1 ∪ k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 ∪ k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m ∪J m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数m 在C 上是可数可加的. 由§2.2 定理 8, 集函数m 是R 上的测.■ Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 Lebesgue 测度的有关定义: Lebesgue 外测度 ∗ m : 由R 上的测度 m 导出的外测度. Lebesgue 可测集: ∗ m -可测集. Lebesgue 可测集类: ( ) n M R (σ -代数). Lebesgue 测度 m : ∗ m 在 ( ) n M R 上的限制. Lebesgue 测度空间: ( , ( ), m) n n R M R (完备的, σ -有限的). Lebesgue 测度和 Lebesgue 可测集分别简称为 L 测度和 L 可测集. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我们 熟知的长度、面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R
证明设界是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 (R)c3(R").因此(R”)∈(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集.定 理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集.特别是一些常见的集都是L可测集 尽管如此,R”中仍然存在子集不是L可测的这样的集称为 Lebesgue不可测集.在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§3.1例6中我们将证明,在R”中存在 子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即M(R")严格包含(R") 由定理3知道,R中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们的 测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方体 的体积 证明首先注意到,若Ⅰ是R”中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 m()=|现在设是R"中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右闭 方体l1和I2,使得l1CIcl2,并且 川-1|<E,|2|-|<E (参见本章习题第16题)由测度的单调性我们有 1-Es|=m(1)≤m()≤m(12)=|l2|<|/+ 由E>0的任意性即得m()=7再考虑/是无界方体的情形.设/=1x…×ln,其中 1,…,In是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在L中 存在一列单调增加的有界闭区间{k2,使得∪Jk=1并且 L limia=|令 Jn,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=∪J,并且 im=lml…{nA=1…n=1 由于J是有界方体,由上面己证的结果有m(J)=4于是由测度的下连续性我们有 m(I)=limm(J,)=lim/Jx=7I 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 l}=[a,a]×…x[a,a],因此
56 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由§2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个Borel可测集都是Lebesgue可测集. 定 理证毕. 定理.3 表明Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是 L 可测集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在本节的 最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在§3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在 子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方体 的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0 , 存在左开右闭 方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε (参见本章习题第 16 题)由测度的单调性我们有 ( ) ( ) ( ) . 1 1 2 2 I − ε ≤ I = m I ≤ m I ≤ m I = I < I + ε 由ε > 0 的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×"× I 其中 n I , ,I 1 " 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,",n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = ∪ 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×"× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 ∪ ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ " " 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积 . 由于单点集 {a} 可看成是方体 , 即 {a} = [a,a]×"×[a,a], 因此
m({a})=[aal×… x[a,a]=0 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的推 广,而且它能对R"中的更多的子集给予一种类似于体积的度量 例1由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于零 又实数集R的一维L测度m(R)=R|=+0.但R作为R2的子集,其二维L测度 m(R)=m(R×(0)=|R×{=+∞0=0 这里顺便指出证明区间[0,1不是可数集的另一方法由定理4,可数集的L测度为零 但m([0,1)=1,因此[0,]不是可数集 例2设K是 Cantor集在§1.4中构造 Cantor集时,从[O,1]中去掉的那些开区间的并记 为G.我们已经知道这些区间长度之和为1,即m(G)=1.由于K=[0,]-G,因此 m(K)=m([O,)-m(G)=1-1=0 我们知道K不是可数集(其基数为c),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零 设A是R"的子集,是上面所定义的环.则由L外测度的定义有 m(4)=mf2m(4):{4}是中的集列并且A∈U4 下面给出 Lebesgue外测度的另一种表示方法 定理5设A是R"的子集.则 m(4)=m∑是一列有界开区间并且AcU 证明设A是R”的子集.若m(4)=+∞,则(4)显然成立.现在设m(4)<+∞.则 由(3)知道,对任意E>0,存在R中的一列集{}使得Ac∪A并且 ∑m(A,)<m'(4)+E 由于每个A1都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个A都是左开右闭方体容 易知道对每个,存在开方体1,使得Ac1并且-4|<5,由于AcU,利用5) 得到
57 m({a}) = [a, a]×"×[a, a] = 0. 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的 L 测度为零. ■ 由定理 4 知道, Lebesgue 测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的推 广, 而且它能对 n R 中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例 1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理 4 知道, 直线上有理数集的 L 测度等于零. 又实数集 1 R 的一维 L 测度 ) . 1 1 m(R = R = +∞ 但 1 R 作为 2 R 的子集, 其二维 L 测度 ( ) ( {0}) {0} 0 0. 1 1 1 m R = m R × = R × = +∞ ⋅ = 这里顺便指出证明区间[0,1]不是可数集的另一方法. 由定理 4, 可数集的 L 测度为零. 但m([0,1]) = 1, 因此[0,1]不是可数集. 例 2 设 K 是 Cantor 集. 在§1.4 中构造Cantor 集时, 从[0,1]中去掉的那些开区间的并记 为G. 我们已经知道这些区间长度之和为 1, 即m(G) = 1. 由于 K =[0,1] − G, 因此 m(K) = m([0,1]) − m(G) = 1−1 = 0. 我们知道 K 不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的 L 测度也可能为零. 设 A 是 n R 的子集, R 是上面所定义的环. 则由 L 外测度的定义有 = ∑ ⊂ ∞ = ∞ = ∗ 1 1 ( ) inf ( ) :{ } , i i m A m Ai Ai 是R 中的集列 并且A ∪Ai . (3) 下面给出 Lebesgue 外测度的另一种表示方法. 定理 5 设 A 是 n R 的子集. 则 = ⊂ ∞ = ∞ = ∗ ∑ ∪ 1 1 ( ) inf :{ } , i i i i i m A I I 是一列有界开区间 并且A I . (4) 证明 设 A 是 n R 的子集. 若 ( ) = +∞, ∗ m A 则(4)显然成立. 现在设 ( ) < +∞. ∗ m A 则 由(3)知道, 对任意ε > 0, 存在R 中的一列集{ } Ai 使得 ∪ ∞ = ⊂ i 1 A Ai 并且 ( ) ( ) . 1 < + ε ∗ ∞ = ∑m A m A i i (5) 由于每个 Ai 都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 Ai 都是左开右闭方体. 容 易知道对每个i , 存在开方体 i I 使得 i i A ⊂ I 并且 . 2i i Ai I ε − < 由于 , 1 ∪ ∞ = ⊂ i i A I 利用(5) 得到