a,,b=aab, 都表示同一意义。应当注意相同类型的呼指标只能是两次,例如对于三维问题 +a2+3 而a4不能表示求和 162求导数的简化表示 d dcp d2② .65) dAs A4=A1+A2+A
第二章力学基础知识 应变分析 这里采用 Lagrange法,利用变形前确定物体y一点的坐标来决定该点在随后变形中的 位置,把直角笛卡尔坐标(am1,x2,a3)固定在空间,如图2.1所示。面变形前物体任一点P(0) 的位置向量用下式表示 (2.1.1 这个坐标系的基向量由下式给出 x=“8x λ=1,2,3 (2.1.2) x是沿坐标轴方向的一些单位向量,它们是相互正交的 d λ=μ dxa为 Kronecker符号。 在点P附近取任意一点Q),并用(a2+dm,出2+da2,x3+dm3)表示Q0)点的坐标, 于是这两点之间的位置向量dr和距离d可分别表示为 adac 为了今后的方便在物体上固定一个无限小的长方体它由以下六个表而所围成图2x [as(0)]2= dr().dr()= d,udada (2.1 常数 m=常数 1,2,3 Q 图21无限小平行六面体变形前后的几何图形
线元素P0Q是它的主对角线之一,而以B(,8()和T作为邻近P的顶点 现假定物体已因变形而处于应变位形,P0,QR(8和T各点分别移动到由P、 Q.R8和T表示的新位置而且无限小的长方体变形成一个平行六面体,一般来说,它不再 是长方体了,现用 2.1.6 表示点P的位置向量,并引入由下式定义的格向量 (2.17 于是,从点P引出的平行六面体的三个边可由B1dx1、E2dz2和E3dx3给出,因而,P和Q之 间的位置向量dr和距离d8,就可以分别由下式表示 dr=r,adaa= edaa 和 as2=drdr= E,da-dxa (2.1.9) 式中 Ea=E2·E=E 2.王.10) 为了定义应变张量,我们计算 (ds)-(ds to))=(Exx-dxmdxAds 20,. dads 式中 (Ex4=dB=6. (2.1.12) 称为 Lagrangean应变张量。 现研究Bxm的几何意义无限小线元素P⑨阳在变形前后的长度分别是 和(d8)2=E1(Gd1)2 因此,PB0的伸长率由下式给出 (d8-d80)/ds)=√B1-1 E2和E3的几何意义与此相似。 其次,考虑两个无限小的线元素P()R(和P四)s),它们在变形前是正交的。变形后, 这两个线元素移动到新的位置PB和PS,它们的相对位置分别由向量Eda1和E2dt2给 出如果用(2-y2)表示P2和P之间的锐角那么有 Ed时,B山2=1E1uo(y) 或 E12=√E1E228iny1 这就给出了E12的几何意义,B23和E31的意义与此相似。 现把点P的位置向量表示为 其中是位移向量,其分量(ut2)由下式定义 (2.1.14
从方程(217和(21.1),有 =(+) (2.1,15) 式中是 KrOnecker符号,利用(1.12)式和(2.11)式,这些应变可以通过各位移分量 计算如下 (a++乱) (2.1.16a、b) 式中 +以) (2.1.17) 2.1,18) 如果用以v分别代替以u,并用a瓢t分别代聲1、2、3或a、a?、a,那么方程 (2116)、(2117)和(2.1.18)可写成如下 00a (a)+(c) 1[2u)+ 2[(a au,王r!au aw a (2119) ag a 2υ. aw ato 2(ay+ (a)+(c) (a)+(細) I/ aw a ay (2.1.20) 2(a“+a2) 9 az ag aw aap 当应变分量是足够小时对于这些应变,可以把下面方程线性化 (d-ds)/dg)=√1+2611-1≈e1 y12=Bin(E12/√z12)≈2a1 类似的一些关系式适用于其他应变分量。 34
2.2应力分析和平衡方程 22.1有限位移弹性理论的应力分析和平衡方程 在前一节中已经阐明,一个无限小的长方体变形之后变成一个斜平行六面体,现在来研 究变了形的平行六面体的平衡。 作用在变了形的平行六面休上的力,是物体相邻部分通过六个侧面作用的内力以及体 力如图22所示。用-olad3表示作用在一个侧面上的内力,这个侧面在变形前的面积 是ddm3,而变形后其边长为E2da2和E3da3b用类似的方法定义量a2和叮3。作用在六个 侧面上的内力分列如下 1d23d3 o'dax2da+ar(o'dac2da )da " oada dalt am(a2dscdal)da g5daida= odda+ a ar3(darda )dr φd+b(dd)d φdxdx+5(4d)d )a41 图22无限小平行六面体变形后平衡 作用在变了形的平行六面体内的体力用Fdcd2a3表示,于是,变了形的平行六面体的力 的平衡方程由下式给出 P=0 (2.2.1 现沿格向量的方向分解来定义的分量 gA=opE 如图22所示。于是,变了形的平行六面体的力矩平衡方程由下式给出 1dm2dm3)×E1d da1)×Ead +(o dcda)x bridas (q2×x) daid?da3=0 223) 所以有 xE,EO