0&xE E×Ex=(21-012)B1×E2 +(32-a23)忍2×B3+(013-031)那×1=0 (226) 由于失量E1×E2、2×B3、B3×E1是互不相关的,由此得 (2.2.6) 方程(22.1)是一个向量方程。用纯量形式表达这个方程的方法之一是把它沿x方向 分解,把体力的分量定义为 =P话x (22.7) 于是就可从方程(22.1)得到下列纯量方程组 [(k+2)”],p=0 λ=1,2,3 (228) 这里要注意,是按每单位面积定义的,P是按每单位体积定义的,而面积和体积都是对未 变形的状态而言的。 下面讨论应力张量的变换,考虑由长方体的三个面和一个斜面围成的一个无限小的四 面体P0R0S(T(),如图23所示。如果用dx表示斜面在变形前的面积,而用E表 示作用在变形后表面RST上的内力,那么无限小四面体的平衡方程是 RE=a2d3dm312)+da,d1/2)+o3dmkam2/2) 2.9 o(dx dr/ FdE o(dt dr/2) -o(dxdx/2) 图23无限小四面体变形后平衡 从变形前的几何形状,则有 dar?do=2(i1 v)dz dada= 2(i2 v)dz darda= 2(i3 y)dz (2.2.10) 式中v是变形前斜面B080上的外向单位法线向量,把关系式(2,2.,10代入(2,2.9 式,则得到 = (2.2.1) 这就给出了作用在斜面上的内力F的大小和方向,沿基向量的方向把矿分解成为 F二F讠 (2.2.12) 就能用纯量形式来表示方程(2.2.11) F=口*P9x(0+具) 式中
222小位移弹性理论的应力分析和平衡方程 在有限位移弹性理论的分析中,研究的是作用在变了形的平行六面体上的力和变了形 的平行六面体的平衡条件,是考虑了变形的影响。而小位移弹性理论,由于小变形条件的限 制,因此采用了变形前的几何状态而不是变形后的状态来描述应力和平衡除此之外,有限 位移弹性理论的应变(2.L.16式是非线性的,而小位移弹性理论的应变(21.17式是线性 的,下面研究变形前的平行六面体的平衡 设六面体的体力为P()d1dad,各面的力如图24所示 odr dr+r(otdr dr)de em drdr a·》dxdx oeder+2( a·dxdx)dx 图24小位移理论无限小六面体平衡 由平衡条件得 将a间,P表示成 6 P间》=P()λ 于是有 (2.2.18) 由力矩乎衡方程得 (odxdn3)×dad1+(a(0)2dmdm)×2da2+((0sddm2)xa?dx 0)A 得 展开上式 0()A×x=(a021-00)12)1×2+(1)32-00)23) 3+(a 0)s (22.21) (2.2.22) 对于应变张最的变换,同样可以考虑四面体,如图2.5所示。设v为斜面的外法线
(drdr/2) 图25小位移论无限小四面体平衡 dz0)为斜面面积,F()dz()为作用在斜面上的力,由四面体平衡条件得 I(dz(O)=o o)(dad /2)+o(0)(drddx3/2) (dada/2) 由于 dad=2(i2 v(0))dz(DI (2.2.24) dac'da=2(i3 y(0))dz(o) 将(22.24式代入(2.228)式得 如果采用纯量形式来表示,可作如下的变换 (2228) 于是(2.225)式的纯量形式为 ②2·2.29) 2.3应力一应变关系 在这里,假定变形是在等温或是绝热情况下发生的,同时假定用应变表达应力的一些函 数存在,使得 1,2 其中零应力状态对应着零应变状态,亦就是说 3. 还假定用应力表达应变的唯一的反函数存在 () 当应变分量假定为足够小时,我们可以把方程(23.1)展开成·a的幂级数,并略去其 中各高阶项,以便得出下列线性的应力应变关系
显然,由于应力张量和应变张量的对称性,各系数之间存在着下列关系 对方程(2.8.4)求逆,可得 式中 九}日 当材料是各向同性时 的数值应该同定义应力和应变的坐标系无关。由此得出 结论,是一个四阶各向同性张量,并由下式给出 体=a+)d-2)o0”+(o0o+o0o0 2.3.6) 而方程(2.3.4)和(23.5)则分别筒化为 22y0,n+2G (237 式中百=2(↓G,ν为泊松比,G为剪切模量,E为弹性模量,量aM和是应力偏 量和应变偏量,分别由0'=0A-00和e=6x-60入来定义,其中 1 3(1+e21+63) 2.4虚功原理 现把物体的表面分成两部分,在表面S1上作用着外力F,而在表面82上其位移指定 为于是边界条件为 F=F 在表面S1上 在表面S2上 2.4.1小位移弹性理论的虚功原理 我们从平衡方程(2218)出发,它是坐标xx方向的平衡方程,现给以方向虚位移 u2,那么平衡力系的虚功方程为 「.(g"+P0o)oud0=0 上式表示体积积分,由于 3),m=0PM“ou+a)xnob 2生3) 将上式代入(2.42式 「.owbd+,、o则),d+. P(o)Aguado=0 39
上式第二项应用高斯积分公式有 o(a)amdu.dv+o(@)arg, duads+ PiojAduido=0 (2.4.5 根据(22.29)式有 (2.4.6) 又因 a t )a du) 注意到a)A=010)M和(2.1.17)式,上式可写成 o(0)AMdeA 根据边界条件(241)式则有 a0)An, eds=s. Fo)buds+∫.p)bo 将(247)式和(2.4.8)式代入(245)式可给出 P(0)λad F(o)Adds=0 (2.4.9) (2.4.9)式为小位移弹性理论的虚功方程,第一项为内虚功,后面两项之和为外虚功但相差 符号 2.4.2有限位移弹性理论的虚功原理 从平衡方程(22.8出发,现给以c轴方向虚位移0u,于是平衡力系的虚功方程 {[(d+)σ*"],+P}0ud=0 (2.4.10) 由于 [(+)σ],=[(")0,+(+t)σ"o 将上式代入(24.10)式,并应用高斯积分公式有 (OA+1 r)o"Hdu do+(OA+u,)o* n, duds 由于*=则有以下关系: +(+號2)dm =2o“(o+no+0,n+12) (, tuX ≈σ""oe (2.4.12