a B as )+a(am)+Q=0在城口内 (.4.1) 边界条件 在F1上 .4.2a) 日=日 在r上 q.42b) 式中0β和分别是温度、热传导率和热源强度;%是边界上外向法线q和θ是空间坐标的 给定函数。参照例133,我们把(41式和(142式写成矩阵算子形式 0工1 0 K(A)= .生8 0-x20 式中 [a(aan)+a(B品 4 4}=|0,0n,(B 1.4.5) I20r=6 能够证明(1.3)式是满足条件(18.19式。按(1337)式有 ) Qi0 dad 将上式第一个积分进行分部积分有 r(0-2[(a)+(2)]-0y-an0a 6+0)B 「{2(a0)+(a7)]-0 dady- ge (-明 4 上式变分的变量是0,通过一阶变分的运算,可以证明泛函(1.48)式是符合(1,4,1)式和 (142)式的要求。现在就(.生.1)式和(1生2)式的近似解法介绍如下。 1.4.1加权残微法 设6表示θ的一个近似解,并把它表示为 a4(m,9+φ(x,9
式中(x,9(=1,2,…,n是定义在域内的坐标函数;a(=12,…,是待定参 数。函数Φ(r,是用来照管方程(141)式和(142)式中出现的某些非齐次项,将方程 (14.9)式代入方程(1.4.1)式和(1.42)式,就能得到一些所谓残数,其定义如下 在域内 R 2 1.生,10 在域边界r1上 Rr,=B q.411) 在域边界r2上 Rr,=6-0 .4.12) 因为0是近似解,所以这些残数总是存在,加权残数法提议如权平均的意义使残数减低到 零来确定a值,即 五 qw, dady Rr, ds+Rr wds=0 =1,2,… (.4.13) 式中就是所谓的加权函数。它们可以是任意函数而没有连续性要求,它们可以是包括0 函数的不连续函数,有几种选择加权函数的方法,不同的选择就导致不同的公式形式。 1.4.2点配置和子域配置 如果按下列方式选择0函数为加权函数,使得 t,=(x-x,y-y)=1,2,…,n ..14 式中是Da函数,而(a,y)是在域D内,或者是在r或r2上一点的坐标,我们就得到 种称为点配置的公式。 其次,我们把域Ω以及边界r1和r2划分成许多子域Ω1,22…,按下列方式选择加权 函数,并使在子域24内 在其他区域 斌得到一种称为子域配置的公式。 14.3伽辽金( TanepKHE)法 现在我们用这样一种方法来选择方程(149)式的0使得它满足方程(1.426)式 并把方程4.13)式列出如下: Raw,dardy+ R 1,2, .4.15) 如果假定了加权函数的连续性,分部积分就能把上式转换成
1.4.16) TanepKH法提出,采用方程(14I5)式或者方程(1.4.16式,并取 =1,2, (1.生.7T) 来确定未知参数a,换句话说,在 TanepktH法中,所取的加权函数与坐标函数致。 4.4 Rayleigh-Ritk法 Rayloigh-Ritz法首先要求出泛函表达式(14.8),然后将满足条件(142)式的近似 代入,即有 r(a)-J5{[(a)+()] (1.4.18a) aI(as 0y=1,2, (1.4.18b) 方程(1418b)式等价于利用 TaepKHH法所得的那些方程 对于方程(4.13)式来说,对加权函数并没有连续性要求,但是,把方程(1.:1式变 换到方程(14.16)式的过程中,对于加权函数是要求连续性的。 14.5最小平方法 依据残数(1410)式、(1.411)式和(1412式构造泛函 I(ai)=R] dady Rds+ ri.ds (1.是19) ar(a4)=0 1,2, are drdy+ R R (1.4.20) 1.5高斯积分公式 15.1三重积分的高斯公式 现要计算积分 Φ, danced 1.5.】) 式中_;域Q如图1.9所 dz 假设平行于z轴的任何直线与区域的边界曲面r的交点不多于两个,把曲面r投影 到moy平面上,得平面区域D,以D的边界为准线作母线平行于2轴的柱面,曲面r与此 柱面的交线C把r分成两部分:r1和r2,其次,我们在区域D内取微小单元abcd,ab=da =da,ad=bc=dy,以此单元边界为准线作平行于z轴的柱面,与曲面r相交,得曲面上徵 小单元ABCD。现在要建立曲面上单元ABCD面积与在域D内的对应单元abcd面积关
图19空间域曲面面积 系。设A点的坐标为x9z则有B点的坐标为 d D点的坐标为 如果用矢量来表示AB和AD,其形式为 AB=id+k AD= jdy+ 则四边形ABCD的面积 mr= ABaD=(6+ k ar da)×(灿+k) kdaedy-j dayar dady .54 矢量积采用右手规则,n垂直于ABCD,为曲面rt的外法线,将(15.4)式用k进行标量积 后得 7·kdr=dad 令 (1.5.5) T=n·k 即鸦表示曲面r1的外法线与z轴的方向余弦,于是(L.5.1)式积分有 (1.5 d,adardydz a dz d dpd rdy- godard On dr dr (.6.7) 在上式的计算中,应当注意,者(1.5.5)式应用到曲面r上时,其外法线方向与现在的AB XAD的方向相差180°,即有一n.k=drdy
152二重积分的高斯公式 计算积分 (1.5.8) 区域口如图1.10所示。 将区域边界r投影到c轴上,得区段 ab,在a和b两点分别作平行于y轴的 图110平面域边界弧长 两直线,与r相交于A和B两点,将边 界r分成r1和2,另外要建立边界r上d与轴上d的关系,我们在rz上取dr,规定 r绕区域D反时针向为正,得 dz=-dnn dy=drn 在r上 1.b9) 式中n%为边界外法线n与、y轴的方向余弦。应当注意,在n1上的d与d的关 系,可以筒单地用r2来代替r1,不过这时原来的外法线%现在变成指向区域内部,亦就 是说与现在的外法线相差180°,并且dr变成反向了,于是 dac dr 在r上 (1.5.10) 有了上述这些关系,就可以计算积分(5.8)式。 φ,dady: 节,d ψr吗dr+rdr ψr"dr+dr ψdr 式中vr表示φ在r1上取值 1.6符号说明 为了书写与表达方便起见,这里引用了一些张量使用的符号,说明如下。 1.6.1求和表示方法 对于三维问题脚标变化为128,对于二维问题,脚标变化为12,则有下列表示方法 a.b=ab;=1,2,3 b,=ab=1,2,3 上面等式右边,脚标备只出现一次,称为自由指标。脚标∮出现两次称为哑指标,它表 示对j求和,哑指标与所用脚标字母型式无关,即