第一章数学基础知识 1.1函数的极值 1.1.1无约束情况下的函数极值 y=f(m)在m=c处有极值时(<<b的必要条件 1.1.1 极大值时应满足 d2 0 (1.1 极小值时应满足 d2f 1.工.3) 对于两个独立变量的函数 z=∫(x,9在点(co,g)有极值的必要条件 af d af 因为da,dg为线性独立,则有 (L.1.b 11.2有约束情况下函数的极值 求=f(,9在约束条件 G(,)=0 1.16 下的极值计算 1.直接法 设隐函数G(x,3=0可以写成显函数形式 y=g(a) (1.1.7 则有 (1.18) 1.1.9 2= af af dg d ag dac (1.1.10) 这里只有物为独立变量,条件df=0即为 1.1.11)
2.拉格朗日(吗gang乘子法 G(, =0 1.12) 将其全微分有 d taG (1.113) 函数 .1.14 有极值的必要条件 1.1.15 设λ为 Lagrange乘子,通过如下的运算 λ×式(1.118)+式(.116)得 0f..G f,3 0 (1.1.16) 若把d看成独立变量,则有 (.1.17) dg是因变量,为了满足方程(1116)式,可以通过选择λ值使得dy的系数为零即 0f,8G ay .118) 由方程(1.1,12式,(11.17)式和(1.118)式可以求出叫织λ。 上述问题亦可以化成无约束间题,其方法是构造一个无约束新函数 FL, y, A)=f(, y)+G(a, y) (1.1,19) 独立变量为λ,极值条件 dp aF (1.1.20 F (1.1.21) 8.惩罚法( Penalty Mothod) 设E为恋罚参数,为预先指定值,现构造一个新的函数,其形式为 F(a,y)=f(a,y)+2a(,y) (1.1.22) dfp= ay (1.1.23) aF 1.1.24) 将(1.1.22)式代入(1.124式得 af 0 aG +E 0 当e→∞时为精确解 1.1.3有约束情况下函数极值算例 求函数
彻+y十L 126) 约束条件 .1.z7) 的驻值点 1.直接法 由(1.1.27式解得y=2m并代入(1.王.26)式 f()=6c2-6x+ df 12-6=0 1工.29) 解得 0.B .1.30) 2. Lagrange乘子法 (x,邹,2)=2x2+y2-8m+y+1+λ(2x-9) (.1.31) 4-8+2=0 (1.132) 1-λ=0 1王.33) x (1 解得 c=0.5 1礼=3 1.1.35) 3.惩罚法 y↓1 =4-8+2e(2x-9 OF 2y+1 0=0 (1,138) 解得 当--c c=0.5 (1.1.40) E=50 0.5197y。=0.9803 (.L.41) =100 c=0.6099y=0.9901 (.1.42) 0.999 惩罚法的优点是不增加未知变量。 12泛函的极值和欧拉(Euer)方程 2.1泛函的概念 定义积分表达式
r()=1F (1.21 e为自变量,F为已知函数=(),满足 (1.22 23) 给定(a)对应就给出实数I(u),这个积分表达式称为泛函,简单地说,泛函是函数的函 1.2.2泛函的微分 泛函 ∫p(,呦,c)a (1.2.4 tt .2 设函数证=()+a()是v(c)邻近的函数(图1.1),n(a)是已知的,且满足们(a)=T(b)=0 t(a)使得(12.4)式获得极值,a是一个小的正实数,当a=0时,私与“(a完全一致,因此泛 函是a的连续函数,记为I(a),泛函的微分就转变成普通函数的微分 I(1)=I(u+m)=Ia+( ) (1.26 若只取一阶微量,有 G).≈(u+am)-Im.=r dr (1.27 dI dI=I(u+an-Iaa0= d (128) dr称为工对“的一阶变分,亦称为泛函r对的微分,在話中的增量称为的变分 (x)+an(x) 打(x 1.1 例1.2.1 d 2u +fu de 1.2.g °,ct,cz和∫为常数 I(a+ an) (u+an)2+ d fa7
d2u d2 of(u)=a t l[t《c+n)+(m+a) d 21E 于 :n()出++/nk (1.2.10) 123变分符号和全微分比拟 函数是u(a)和“(∞)的函数,为自变量,设 u=u(+an) =7(a) 则函数=F(ax,)的一阶变分可按(128)式写出 d F(a,u+ +a?) d [a,v(a),w(a)] air a OF aF (1.2.11) 令=an为的变分,即在固定a情况下t的增量,当w变到+cw时,F的增量 △F=B(x,“+an,"+an)-F(x,,w) (1.2.12) 如果把+a,“+a看成独立变量,则上式可用戴劳级数( Taylor series)展开 AF=F(c, u, u) F aF, (an)aF (a7)(a 8rF+(am)282B-+…-F(x乱," aF a7-aei +an aw.+cRi(a) .2.13) aR1(a)是余项,1imB1(a)=0,F的一阶变分 F 符号d称为变分算子,作为特殊情况,当F=t时她=叫当F=时=a因此有 oF aF (1.2.15 另外,珂(吗v“的全微分 aF dwr (1.2.I6) 因为4变化到+她时,是固定值,因此da=0这样,(1215)式与(12.16式形式上非