按照变分的逆顺序 第一步:用a乘(1.3.2)式并积分 F (1.3.6 第二步:将上式进行分部积分 aF dm t af ad_ af ad y 第三步:代入边界条件 F ct ny 于是有 ar(o)-∫n[o aF oCTS )+8, a(oy )]o duody-d 4[。(cv"吗)y-y小=0 (13.9) I(s=F(, 3,t,te, uy)dady")r guis 182用 vainberg理论构造泛函 定义 1x微分 ar(n)=1im2(+a)-l(=6r &- I(46+an) =(K(,v (1.3.11) K(u)称为泛函()在处的梯度,亦就是前面导出的欧拉方程,为了说明(18.1)式,举 例如下 例1.3.1考虑泛函 ICu (,蟮, .312) U(b)= T=4. b (.3.13) 设()是使I(g)获得极值,在(a)的邻近取 =()+(),η(a=η(b=0=叭十叫 式中下标z表示对c的导数如 r()= F(a .3.14 a-∫.aFa乱
af di aF 8.16 dIra OF aF d/ aF aus da( ass )(n) a d ar rda=0 L.3.I6 dI(u,n) ax2-∫:[a-()lw K(u), (1.3.1 K()=O-d(a)=0 (1.3.18) 由上述分析可知,给定一个泛函,我们就能得到一个梯度算子K(v,即欧拉方程。反过来, 如果已知K(v),要求泛函r(v),则K()需要满足什么条件,其条件为 tdK(un, t>=<dK(u T ),n> 1.819) 亦就是<aKc;m),对是对称的,现证明如下,按照(8.11)式有 dI(u+ en: n =lim I(+En+ Aen)-I(u+ en) d ( .3 e为一个小的正实数,若用a去代替∈,则有 f(u+an=dI(u+angn (1.3.21) 用髻=坳,7=-物代入上式 d IT d 0);"-b] K[u+a(-)],-4 3.22 将上式两边乘da并在区间[0,1积分得 ()=I()+<K 现分别用+%代入上式中的,可得两式,然后将两式相减得 工(a+η)一工() <K[+a(t-物+],“-v+m K[w+a(u-點)],t-}d (1.8.24 或者写成 (u+n)-ICu)=.<KLu+(u-u0)+an], n>da+Ie 式中
1.3.26) 上式又可写成 〈K[始+a(-)+切],(-")》d daK[+a(-w)+切,(-0) 利用对称条件(13.19)式重写上式 +a-n)+m(-):a 参看图工8,变更上式积分顺序有 dt <dKLuo+a u-uo) K(+胡)-K[眙+t- +轫],d (1.3.29) 将(1829)式代入(13.25式,得 I(a+η)-I() K(w+轫),Td (1.3 利用积分中值定理得 图1.8狄里赫立变换 I(u+-I()=K(+0n),m0<6<1 (1.8.31 另一方面,用∞来代替上式中的T,则有 I(+an)-I(u)=(K(u+ean),am) 或者 r(+)-I()=《(+ean),t 1.3.33) 通过取极限 lim.I (u+an-i(m) <K(u), 1) .834) 问题得到证明。 在其体求泛函的应用中,通常选择呦=0和r()=0,则(13.28)式可以写成 I(u)=.(K(at), u> da (1.3.35) 上式是已知算子K(u),并满足条件(1.3.19)式求泛函的一般公式,对于算子 (u)=A(u)-f 是线性时则有 da (A(au)-f, ude =.<aA(u)-f, u>da
A(v)-f,吟 .B.87 例132考虑非线性微分方程 A(b)= d dr la(r) dat d2u +()=f 0<c< (1.3.38) 边界条件 =0、1 K(=A(u) K(:t)=K(n)=-d d-[3a(a)( da)da dar b( diu don +c(oy .3.40) 校核dK(q),》是否具有对称性 cn),-{-d[3a(o(c)出 d2 d2n b(dda dea +c(a) sdac Q1.3.41) 分部积分后得 d(q),公={32(:) dn dE +b(a) m出 +a(o)n」-{3a(o(c) 温[(出]+出}a342 考虑到边界条件(1889)式, 0、1,E 是有 dx(n,=[3a(o()a出 d2u d2n d25 e+c(9 1.3.43) 由上式可以看出被积函数对号和司是对称的,所以条件(L8.19)式是满足的,根据(L335) 式有 x()=n<-a[(o)(出)]+[b(4出]+(9)M-f,吗l =←-a[(如)]+{出]+"u-, f{-ae(a)+:{]+"ur} a(∞)/dt (a)/d d rb(a d2u 4 da/ dx t dal2 dal
dpb(∞)ddu u2-fu da da b(a)d2a 1b( en dzu d?2as 2 daa dr +「[°2…-am b(∞)/d2 d a2 u2-fu jde ①1.3.44 例13.3考虑一对线性方程 B=0 在区域内 divu-Q=0 边界条件 n·v+(u-t)=q在区域Q边界r1上 .3.46 在区域边界2上 这里以v是变分变量,“是温度,v是热流,B和q是给定的函数,在目前的情况 下,把(1.3.45)式和(13.46式以矩阵形式写出算子K diy 00 0 1 g 00 K(4= (1.3.47 00M1I1‖w (huo+gr 0 式中I1、I2为限制作出标志的算子,即意味着 1.3. 小}=[wa,va,"r 将K(4)代入(1319)式能够证明是满足的,于是能按(1.3.37)式求泛函 ICu, D (一divv)-Qw 1 vdady+ (h+9)wd8+ (2-a) was 3 应当注意,在组成K(和{4}时,应使得内积(887)式具有物理意义,在固体力学 中其意义为功 1.4变分的近似方法 这里用一个二维热传导问题为例这个问题是由下列微分方程和边界条件定义的,微分 方程是