+)(32+2+-)my ={(一Mn吗-M吗-2M,叫)≌如+(Mmn-M,mn adw,/ aM aM y (y2+x2)am,},p(器+2a+2-) {- ad_Me as+.dan+Q, fds+Dlaw aowo dady a8+Q}a+D「(2 ax2ay2 agt gr -d)oday (1.292) 又因 aMms 0a0+M aduu Ms ds a&n,dud 9 sodd (1.2.93 将上述关系代入(1.2.92式有 onI r-M.a+(Q+°m2)J +D(+2a+-B) (1.2.94 要使总势能Ⅱ最小,它的一阶变分必须等于零,即=0,于是得到政拉方程 a+2+=另在区域 I.295) 边界条件 (1)边界r1上位移是指定时 如n=bn在F上(1296 称为本质边界条件 (2)边界r2上位移是任意时 M=0 M 在r2上 297) 图17区域与边界 称为自然边界条件 这里r是区域9的边界,F=r1+r2(图17。 126有约束条件的泛函极值 1.泛函
r(0- 1.2.98) 在约束条件 G(x,v)d=O(k=L,2,…n) (1.2.99) 下的极值Ca为常数。 (1)拉格朗日( agrange)乘子法 设λ为拉格朗日乘子将要被确定的常数,构造新的泛函 TL(u, a) 4)dn+[∫。a y)dx-C, OI(u,A)=(Owou+ ou b)dx+>mIc(aGw ou aF aG G,dc-C,on, Ou do aw+>im bGy d aF d aG aF >x ow )you .2.100 欧拉方程 -a+4(a-a器) b (1.2.101) 边界条件 ①当端点为指定值时,即 u(a)=“(b)=M=,=b (.2.102) 此时为本质边界条件,(1.2100式最后一项恒等于零。 ②当端点v为任意值时 aF +∑y G〔. 此时为自然边界条件。 约束条件 x,以w)dx-Ck=0(=12,…) (1.2.104 (2)惩罚法 设e为惩罚参数,为预先给定的,构造新的泛函 )=F( (12.105) 变分变量为一阶变分为 ∫( G( i au du+ aG aF d a 1 dx
d aq )Jouda+ 8n+2e[rG (a, e,w)da G (1.2.106 欧拉方程 0-da+e」。a〔tn)dn-Cn,(a-da d aF au d aw 0 C<a<b (12.107) 边界条件 ①当端点为指定值时 (1.2.108) 为本质边界条件,(1.2106)式中最后一项恒等于零。 ②当端点为任意值时 +[:a,w,)A-a]=0-,=ba 2.x108) 为自然边界条件。 当ε-∞时就获得精确解,现在将(L2.101)式、(1.2.103)式与(1.2.107)式、 (.2109式进行比较,就可以发现关系 λ相当于 G( )dac-C 2.泛函 I(,叨=。F(v點":如凯)dd 1.2.I1) 在约束条件 G v, vx)=0 a2112) 下的极值 1)拉格朗日乘子法 设入为拉格朗日乘子,是y的函数,构造一个新的泛函 F λG(,孰,點"",",")dady(1.2.113 变分的变量为v,λ,于是一阶变分为 「aet-aba-a+42 G OF a aF a aF.a aG a(2c7)+Q(叫,,w,)]a (+3)+(a+42,)- duds
aF+M )+(aD G (12.n14尘 欧拉方程 OF a aF a aF aG (4c)司(4) 0 在内 .2.5) : 0u-aa a. -ay 802+20-0(a 06 )-2,( a 2g) 0 在内 (1.2.116 0λ:G(,vt"",)=0 L.2.117) 边界条件 ①当在区域的边界C上,v和为指定时,就是说0=d=0,(12.114)式后两项 恒等于零。 =公 在r.上 1.28) 此边界条件为本质边界条件。 2当在边界r上的%和如为任意值时,则自然边界条件为 G aF aG 0 a,+λoa (12119) λ (2)惩罚法 设E为惩罚参数,是预先给定的,P(,叨是反映约束条件的预先给定的泛函,现构造一 个新的泛函 IP(叨=」。F(a%“四,,")andy+eP (12.120) 接下来一个很重要的问题是如何给出P(v,v的构造,在许多物理问题中要求极值的泛函 是二次形式的,因此应当有泛函二次形式的属性,这样可以方便地选用 P(4=型∫a(n%吆吃,,)]dn (2.121 (12121)式保证了约束条件(.2.112)式成立,因为P(%"是大于等于的,而eP, 是有界的,这样,当e趋向无限大时,必然使P(,趋向无限小,这就保证了约束条件 .2112)式成立,泛函P(,)的一阶变分为 ∫a ∫ oF a aF a aF aG 02 00 -a 00, +eG oo- a(eG 26) o(eg ag. )]oo/dady +[( +(a+0邵)-]p+(.+aa)
(ar +eG ag ).]a dods (12122 欧拉方程 aF a aF a aF 在Ω内 (1.2.123) n如-ax8v,oy8on+a8_8 aF a aF a aF aG 0 在内 1.2124) 边界条件 ①在r上以为指定时,即a=0=0,则(1.2.122)式最后两项恒等于零。 在r上 (1.2.125) 为本质边界条件 ②在r上为任意时,则自然一界条件为 aG aG f E 0 (2.126) 0 av+eG aG a5 将(1.2.115式、(1.2.16)式、(1.2.19)式与(1.2123)式、(1212)式、(12.126)式进行 比较,可以发现 λ湘当于EG(,弘點,忉,町,的 態罚法与拉格朗日法相比较,它方法简单不增加未知数当ε→∞时收敛于精确解。 :3由控制方程、边界条件构造泛函 现在来讨论已知控制方程和边界条件如何来构造泛函,这是数值分析中的一个重要问 1.8.1按邀顺序求变分公式 I=F(a, y, u, ur, u, (13.1 控制方程 BD-an(o)可(a)0在内 边界条件 )自然边界条件 a。n+awn=9在n上 (33) (2)本质边界条件 在r上 1.3.4 T=Ti+r2 L8B.5)