第一篇力学 进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球?(足球可视为质点) 分析被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平 面内的运动方程得到由于水平距离x已知,球门高度又限定了在y方向的范 围,故只需将x、y值代入即可求出 解取图示坐标系Oxy,由运动方程 x= ucos 8, y=tsin 8-ogl 消去t得轨迹方程 =xian 0-8,(1+tan2'0)x2 以x=25.0m,=20.0m·8及3.44m≥y≥0代入后,可解得 71.11°≥61≥69.92° 27.92°≥62≥18. 如何理解上述角度的范围?在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘 都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示).如果以θ>71.11°或6<1889踢 出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门;由于球门高度的限制,角也并 非能取71.11°与18.89°之间的任何值当倾角取值为27.92°<6<69,92°时,踢 出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门因此可取的角度范圃只能 是解中的结果 3.44m 题-21图 1-22-质点沿半径为R的圆周按规律s=2-1b运动,、b都是常
第一章质点运动学 23 量.(1)求t时刻质点的总加速度;(2)t为何值时总加速度在数值上等于b? (3)当加速度达到b时,质点已沿國周运行了多少圈? 分析在自然坐标中,s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运 动方程s=s(t),对时间t求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v和加速度 的切向分量a,而加速度的法向分量为an=2/R.这样,总加速度为a=a,e1+ aen至于质点在t时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量As=s4-so,因圆 周长为2TR,质点所转过的圈数自然可求得 解(1)质点作圆周运动的速率为 bt 其加速度的切向分量和法向分量分别为 Do dr R R 故加速度的大小为 R 6+(v.-br) 其方向与切线之间的夹角为 (o-br) = arctan--= arctan一 R6 (2)要使la=b,由 √Rb3+(-b)=b可得 (3)从【=0开始到t=n时,质点经过的路程为 26 因此质点运行的圈数为 1-23一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的 平方成正比.在t=2.0s时测得轮缘一点的速度值为40m·s.求:(1)该轮 在t'=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;(2)该点在20s内 所转过的角度 分析首先应该确定角速度的函数关系a=k2.依据角量与线量的关系由 特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k,a=a(t)确
24 第一篇力学 定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解 的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角 位移 解因oR=v,由题意a∝t2得比例系数 所以 a=0(t)=2t2 则t'=0.58时的角速度角加速度和切向加速度分别为 2t"=0.5rad =4t'=2.0rad·s a,=aR=1.0 总加速度 a=a+a=aRe +o Re (aR)2+(a2R) 在2.0s内该点所转过的角度 2r de =5.33rad 1-24一质点在半径为010m的圆周上运动,其角位置为=2+42,式 中θ的单位为rad,t的单位为s.(1)求在t=2.0s时质点的法向加速度和切向 加速度.(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,6值为多少? (3)t为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等? 分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求 解的方法即可得到 解(1)由于0=2+4+2,则角速度a==122.在t=2s时,法向加速度 和切向加速度的数值分别为 an1-2、=ro2=2.30×102m·s-2 a3a=7 4.80m·s (2)当 时,有3a1=a2,即 3(24r)2=r2(122) 此时刻的角位置为
第一章质点运动学 =2+43=3.l5ra (3)要使an=a1,则有 r(122)2=24rt t=0.55s 1-25一无风的下雨天,一列火车以v1=20.0m·s的速度匀速前进,在 车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度n2 (设下降的雨滴作匀速运动) 分析这是一个相对运动的问题.设雨滴为 研究对象地面为静止参考系S,火车为动参考系 sv为S相对S的速度,v为雨滴相对S的速度, 利用相对运动速度的关系即可解 解以地面为参考系,火车相对地面运动的 题1-25图 速度为v,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2,旅客看到雨滴下落的速度v为 相对速度,它们之间的关系为v2=v2+v(如图所示),于是可得 5,36m 1-26如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为t1,下落雨滴的 速度方向偏于竖直方向之前0角速率为"2,若车后有一长方形物体问车速v1 为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿? 分析这也是一个相对运动的问题.可 视雨点为研究对象,地面为静参考系S,汽车 为动参考系S如图(a)所示,要使物体不被 淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点 相对于汽车的运动速度v的方向)应满足 a≥ arctan,再由相对速度的矢量关系 v2=v2-v,即可求出所需车速v 解由v=v-U1[图(b)],有 sin 6 o= arctan Cos 面要使&≥ arctan,则 Dr-U, sin 0 I 题1-26图 Ua cos
第一篇力学 sin e 人能在静水中以1.10m·s-的速度划船前进今欲横渡一宽为 1.00×103m、水流速度为0.55m·s-的大河.(1)他若要从出发点横渡该河而 到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向?到达正对岸需多少时间?(2 如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向?船到达对岸的位置在什么 地方? 分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v决定的由于水流速 度的存在,v与船在静水中划行的速度v之间有v n+v(如图所示)若要使船到达正对岸,则必须使v沿 正对岸方向;在划速一定的条件下,若要用最短时间过 河,则必须使v有极大值 解(1)由v=l+v可知a= arcsin,则船到达正 题1-27图 对岸所需时间为 =1.05×10 Os a (2)由于b= U/ COs a,在划速一定的条件下,只有当a=0时,最大(即 t=′),此时船过河时间t=dv,船到达距正对岸为l的下游处,且有 d 5.0×10 Ⅰ-28一质点相对观察者O运动,在任意时刻t,其位置为x=nt y=gt2/2,质点运动的轨迹为抛物线若另一观察者O以速率t沿x轴正向相对 于O运动试问质点相对O的轨迹和加速度如何 分析该问题涉及到运动的相对性.如何将已 知质点相对于观察者O的运动转换到相对于观察 o(oyo) 者O的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系 0中一动点(x,y)变换至系O中的点(x,y).由于 观察者O’相对于观察者O作匀速运动,因此,该坐 标变换是线性的 解取Oxy和Ox'y'分别为观察者O和观察 者O所在的坐标系,且使Ox和Ox'两轴平行在 题I-28图 t=0时,两坐标原点重合由坐标变换得 x=x-”="t-=0 y =y