第一章质点运动学 17 √2(1-cs△6) AsR△e 所以 4t=、1-cos△) (2)将△=90°,30°,10°,1°分别代人上式 a,≈0.9003 0.9886 R a3=0.997,a≈1.00 以上结果表明,当Δ0→0时,匀速率圆周运动 的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加 速度 R 1-17质点在Oxy平面内运动,其运动方程 (b) 为r=2.0i+(190-2.02),式中r的单位为m,t 的单位为s求:(1)质点的轨迹方程;(2)在t1 题1-16图 1.0s到t2=2.06时间内的平均速度;(3)t1=1.0时的速度及切向和法向加速 度;(4)t=1.0s时质点所在处轨道的曲率半径p 分析根据运动方程可直接写出其分量式x=x(1)和y=y(t),从中消去参 数t,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即 U=△/△t,它与时间间隔M的大小有关,当△→0时,平均速度的极限即瞬时速 度四=“切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a,和an,前者只反映 质点在切线方向速度大小的变化率即a4=,e,后者只反映质点速度方向的变 化,它可由总加速度a和a,得到在求得t1时刻质点的速度和法向加速度的大 小后,可由公式an=求p 解(1)由参数方程 19.0-2 消去t得质点的轨迹方程 y=190-0.50x2
18 第一篇力 (2)在h1=1.00到2=2.0s时间内的平均速度 Ar 2-I 2.0i-6.0j ΔtE2-t (3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为 )=,+t,j j=2.0i-4.0旷 d t) 4.0 dt. di 则t1=1.00s时的速度 v(t)l1=,=2.0i-4.0 切向和法向加速度分别为 du 3.58 a,en= (4)t=1.0s质点的速度大小为 +υ2=4.47m 则 11.17 1-18飞机以100m·s的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1)此时目标在飞机正下 方位置的前面多远?(2)投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度 (3)物品投出20s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少? 分析物品空投后作平抛运动忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理 知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动到达 地面目标时,两方向上运动时间是相同的因此,分别列出其运动方程,运用时间 相等的条件,即可求解 此外,平抛物体在运动过程中只存在 竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需 求出该时刻它们与重力加速度之间的夹 角a或β.由图可知,在特定时刻t,物体的 切向加速度和水平线之间的夹角a,可由 此时刻的两速度分量,、v,求出,这样,也 就可将重力加速度g的切向和法向分量 求得 题1-18图
第一章质点运动学 解(1)取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分 别为 飞机水平飞行速度D=100m·8,飞机离地面的高度y=100m,由上述两式可 得目标在飞机正下方前的距离 452 (2)视线和水平线的夹角为 6= arctan =12.5 (3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为 a= arctan -= arctan 取自然坐标,物品在抛出2s时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为 a=gsin a=gsin arctan a,=gcos a=gcos arctan 9.62 -19如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O处,已知斜坡 倾角为a,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v,忽略空气阻力求:(1) 炮弹落地点P与点O的距离OP;(2)欲使炮弹能垂直击中坡面证明a和B必 须满足tanβ=2ana 并与v无关 分析这是一个斜上抛运动看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用 叠加原理建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易现建立 如图(a)所示坐标系,则炮弹在x和y两个方向的分运动均为匀减速直线运动 其初速度分别为t0osB和 rosin B,其加速度分别为 gsin a和gosa.在此坐标 系中炮弹落地时,应有y=0,则x=OP.如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足 U,=0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解由于本题中加速度g为恒 矢量故第一问也可由运动方程的矢量式计算即r=!+28,做出炮弹落地 时的矢量图[如图(b)所示],由图中所示几何关系也可求得0(即图中的r矢 量) (1)解1由分析知炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为 x=vcos B-a" sin a (1)
第一篇力学 y=voisin B-a"gt cos a (2) 令y=0求得时间t后再代入式(1)得 2vo sin B OP=x cos acos B-sin asin B) gcos a Da sin gcos a cos(α+B) 解2做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有 从中消去L后也可得到同样结果 (2)由分析知如炮弹垂直击中坡面应满足y=0和v,=0,则 β- gisin a=0 由(2)(3)两式消去t后得 B 由此可知.只要角a和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v的 大小无关 讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困 难,有兴趣读者不妨自己体验一下 P 题1-19图 1-20一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R,离地面的高度为h, (1)当伞绕伞柄以匀角速o旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为 r=R√1+2h3/g的圆周上;(2)读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌 溉用的旋转式洒水器的方案?
第一章质点运动学 分析选定伞边缘O处的雨滴为研究对象,当伞以角速度c旋转时,雨 滴将以速度沿切线方向飞出,并作平抛运动建立如图(a)所示坐标系,列 出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证.由此可以想像如果 让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将 会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予 精心的考虑 解(1)如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为 x sul= Rot (1) t'=h 由式(1)(2)可得 rOH g 由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为 √x2+R2=R 2h (2)常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(60=45°)其上有大量 小孔.喷头旋转时,水滴以初速度v从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷 头表面基本上与草坪处在同一水平面上则以φ角喷射的水柱射程为 n2 R= sin 4p 为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能 均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题 19 题1-20图 1-2l一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s-的初速率罚 任意球,已知球门高为344m.若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢