D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.06.019 第30卷第6期 北京科技大学学报 Vol.30 No.6 2008年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2008 变截面连续梁动力特性的半解析解法 张怀静潘旦光 北京科技大学土木与环境工程学院，北京100083 摘要基于Bernoulli-Euler梁理论，分析了多跨变截面连续梁的动力特性.应用模态摄动基本原理，利用等截面连续梁的 模态，将变截面连续梁微分方程的求解转化为代数方程组求解。该方法对于梁的截面函数的连续性要求较少，既适用于截面 变化为阶跃形式的梁，也适用于截面函数连续的梁。通过算例分析表明，这一方法可有效地简化计算，同时计算结果具有较高 的精度 关键词变截面连续粱：动力特性：半解析解；模态摄动法 分类号TU378.2;0448.21+5 Semi-analytic solution to dynamic characteristics of non-uniform continuous beams ZHA NG Huaijing,PAN Danguang School of Civil and Environmental Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACT The dynamic characteristics of multi-span non-uniform continuous beams were analyzed by the Bernoulli-Euler beam theory.Based on the basic principle of modal perturbation,the analytical mode functions of uniform continuous beams were used to transfer the differential vibration equation of non-uniform continuous beams to a set of algebraic equations.In the method.the dy- namic characteristics of the beams with complicated section types can be solved effectively,whether the section function is continuous or not.The numerical results of two examples show that the method is simple,practicable and has good precision. KEY WORDS non-uniform continuous beams:dynamic characteristics:semi-analytic solution:mode perturbation 梁是工程结构中应用最广泛的一类结构形式， 动刚度法可以获得梁的精确动力特性，在梁为等截 已广泛应用于各种公路和铁路桥梁.随着城市交通 面均匀梁情况下，计算尤其方便；但当梁具有变截面 的快速发展，尤其是高速铁路和高速公路的修建，结 特性时，使用解析解或直接动刚度进行分析，有的只 构在移动荷载作用下的动力反应成为当前研究的热 适用于一些特殊的情况，有的计算过程比较复杂应 点·关于移动荷载下结构的动力反应分析，有许多 用比较困难，本文在等截面连续梁的基础上，应用 学者做出富有成效的工作可].在进行动力反应分 模态摄动原理]，建立变截面连续梁主模态特性的 析过程中，梁的动力特性是一个普遍关心的研究 近似分析方法，该方法对于梁截面函数的连续性要 内容 求较小，且计算简单，计算精度较高，目前已将该方 目前，计算连续梁动力特性的方法主要有解析 法应用于剪切梁10)、变截面单跨梁山和损伤梁12] 解法、有限元法[61、直接动刚度法[$]等.有限元法 等结构动力特性的求解。本文进一步将该方法应用 具有计算适应面广，且有较多通用程序可供应用的 于求解变截面连续梁的频率和模态 特点；但为获得梁的高阶频率时，需要对每根梁划分 很细的网格，此时计算工作量较大，解析解和直接 1连续梁的横向振动方程及解 当梁的长细比较大时，可忽略剪切变形和转动 收稿日期：2007-04-27修回日期：2007-06-13 惯量的所产生的影响，即采用Bernoulli一Euler梁理 作者简介：张怀静(1963一)·女，副教授， 论进行分析·此时，对于图1所示的多跨变截面梁 E-mail:jinaibing@vip-sina.com 的弯曲振动方程可表示为]：
变截面连续梁动力特性的半解析解法 张怀静 潘旦光 北京科技大学土木与环境工程学院北京100083 摘 要 基于 Bernoulli－Euler 梁理论分析了多跨变截面连续梁的动力特性．应用模态摄动基本原理利用等截面连续梁的 模态将变截面连续梁微分方程的求解转化为代数方程组求解．该方法对于梁的截面函数的连续性要求较少既适用于截面 变化为阶跃形式的梁也适用于截面函数连续的梁．通过算例分析表明这一方法可有效地简化计算同时计算结果具有较高 的精度． 关键词 变截面连续梁；动力特性；半解析解；模态摄动法 分类号 TU378∙2；U448∙21＋5 Sem-i analytic solution to dynamic characteristics of non-uniform continuous beams ZHA NG HuaijingPA N Danguang School of Civil and Environmental EngineeringUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT T he dynamic characteristics of mult-i span non-uniform continuous beams were analyzed by the Bernoull-i Euler beam theory．Based on the basic principle of modal perturbationthe analytical mode functions of uniform continuous beams were used to transfer the differential vibration equation of non-uniform continuous beams to a set of algebraic equations．In the methodthe dynamic characteristics of the beams with complicated section types can be solved effectivelywhether the section function is continuous or not．T he numerical results of two examples show that the method is simplepracticable and has good precision． KEY WORDS non-uniform continuous beams；dynamic characteristics；sem-i analytic solution；mode perturbation 收稿日期：2007-04-27 修回日期：2007-06-13 作者简介：张怀静（1963－）女副教授 E-mail：jinaibing＠vip．sina．com 梁是工程结构中应用最广泛的一类结构形式 已广泛应用于各种公路和铁路桥梁．随着城市交通 的快速发展尤其是高速铁路和高速公路的修建结 构在移动荷载作用下的动力反应成为当前研究的热 点．关于移动荷载下结构的动力反应分析有许多 学者做出富有成效的工作［1－5］．在进行动力反应分 析过程中梁的动力特性是一个普遍关心的研究 内容． 目前计算连续梁动力特性的方法主要有解析 解法、有限元法［6］、直接动刚度法［7－8］等．有限元法 具有计算适应面广且有较多通用程序可供应用的 特点；但为获得梁的高阶频率时需要对每根梁划分 很细的网格此时计算工作量较大．解析解和直接 动刚度法可以获得梁的精确动力特性在梁为等截 面均匀梁情况下计算尤其方便；但当梁具有变截面 特性时使用解析解或直接动刚度进行分析有的只 适用于一些特殊的情况有的计算过程比较复杂应 用比较困难．本文在等截面连续梁的基础上应用 模态摄动原理［9］建立变截面连续梁主模态特性的 近似分析方法．该方法对于梁截面函数的连续性要 求较小且计算简单计算精度较高．目前已将该方 法应用于剪切梁［10］、变截面单跨梁［11］和损伤梁［12］ 等结构动力特性的求解．本文进一步将该方法应用 于求解变截面连续梁的频率和模态． 1 连续梁的横向振动方程及解 当梁的长细比较大时可忽略剪切变形和转动 惯量的所产生的影响即采用 Bernoulli－Euler 梁理 论进行分析．此时对于图1所示的多跨变截面梁 的弯曲振动方程可表示为［13］： 第30卷 第6期 2008年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．6 Jun．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．06．019
第6期 张怀静等：变截面连续梁动力特性的半解析解法 .591. a2「 x(x.D arEI(x) +PA(x) a2y(x,=0 0,2 /m0w2 a,kl,=lr EIxo (1) i,=EI,o/l, 式中，EI(x)为梁的抗弯刚度，A(x)为沿梁方向长 通过求解频率方程(5)可得各阶特征值入= 截面的变化情况，y(x,t)为梁的横向位移，P为梁 ,则第r跨梁第j阶模态可表示为： 的密度 El(x)2 Elx)r El.(x m El(x)m+1 _MC,一 (x)=B,一El,k品 pA,)&pAc)点pA)ApA.a L g房-1.2m-12网 (6) 图1变截面连续梁计算模型 式中，x,∈[0,4，]，M(+=i[Fr9.+ Fig.I Schematic of the non uniform continuous beam H,+l小0n=-产[，号+，小 采用分离变量法，梁的振动主模态函数中和特征值 入可表示为： 与一 2「 ax2 EI(x) d 十m(x)=0 (2) Bk=2(shkx十sinkx),Ca=2(chkx一coskx), 式中，m(x)=PA(x)·对于多跨连续梁，当各跨分 Dkx=2(shkx一sinkx) 别是等截面时，采用动刚度矩阵法、三弯矩法和三转 角法等都可方便地获得梁的精确频率和振型，为 2模态摄动法基本理论 此，在求解式(2)之前，先建立与变截面连续梁相对 对于任意变截面梁，求解式(2)的解析解通常是 应的各跨均为等截面的等效连续梁模型，即令 很困难的，常采用近似分析方法，本文应用模态摄 1 。m,(x)dx 动法，利用等效等截面连续梁的计算结果，形成一个 (r=1,2,…,m)(3) 求解式(2)的较简单的方法，模态摄动法的基本思 E1,0= 想是把式(2)所表征的变截面连续梁看成是式(4)所 表示的等效等截面连续梁经过参数修改后得到的新 则等效梁的主模态函数控制方程可表示为： 系统，这个新系统主模态函数及特征值可以利用等 d小-m0(x)=0(=1,2,…,m） ELo dx 效梁系统的模态特征进行简单的摄动分析而近似地 (4) 求得，即设 当采用三转角法计算式(4)的动力特性时，以结 入=入十△入 (x)=(x)十△(x) (7) 点1的转角91为初参数，并令9=1，则两端简支 连续梁的频率方程可表示为]： 其中，入=，主模态函数的修正量△$为除$外， Hm-19m-1十Fm-19m=0 (5) 等截面连续梁其他保留主模态函数的线性组合，即 式中，9，表示节点r(r=1,2,…,m)的转角，不同节 △(x)产之(x)张 (8) k=1,≠j 点的转角可以采用递推公式进行计算，即： 从理论上讲，式(8)中的梁有无穷多个主模态， 41=W,9- 即式(8)中的n应为∞，但在实际计算时可取有限 个低阶模态进行近似计算.因此，在求得△入，k(k= S,=i,H,, 1,2,,n,k≠j)这n个未知数后，代入式(7)即可 求得变截面连续梁的第j阶特征值入及对应的主 模态函数$(x)将式(7)代入式(2)，并在方程两边 E,=in coh。sinh o。, 乘以(x)(=1,2,…n),然后沿全长积分，可得： 1-cos a,cosh a, =品
∂2 ∂x 2 EI（ x） ∂2 y（ xt） ∂x 2 ＋ρA （ x） ∂2 y（ xt） ∂t 2 ＝0 （1） 式中EI（ x）为梁的抗弯刚度A （ x）为沿梁方向长 截面的变化情况y（ xt）为梁的横向位移ρ为梁 的密度． 图1 变截面连续梁计算模型 Fig．1 Schematic of the non-uniform continuous beam 采用分离变量法梁的振动主模态函数 ●和特征值 λ可表示为： ∂2 ∂x 2 EI（ x） d 2● d x 2 ＋λm（ x）●＝0 （2） 式中m（ x）＝ρA （ x）．对于多跨连续梁当各跨分 别是等截面时采用动刚度矩阵法、三弯矩法和三转 角法等都可方便地获得梁的精确频率和振型．为 此在求解式（2）之前先建立与变截面连续梁相对 应的各跨均为等截面的等效连续梁模型即令 mr0 ＝ 1∫lr l r 0 mr（ x）d x EIr0 ＝ 1∫lr l r 0 EIr（ x）d x （ r＝12…m）（3） 则等效梁的主模态函数控制方程可表示为： EIr0 d 4●（ x r） d x 4 －λmr0●（ x r）＝0 （ r＝12…m） （4） 当采用三转角法计算式（4）的动力特性时以结 点1的转角 φ1 为初参数并令 φ1＝1则两端简支 连续梁的频率方程可表示为［13］： Hm－1φm－1＋Fm－1φm＝0 （5） 式中φr 表示节点 r（ r＝12…m）的转角不同节 点的转角可以采用递推公式进行计算即： φr＋1＝ W rφr－ Sr－1 Sr Hr Sr＝ irHr W r＝－ 1 Hr ir－1 ir Fr－1＋F r Fr＝ sinαrcoshαr－sinhαrcosαr 1－cosαrcoshαr αr Hr＝ sinhαr－sinαr 1－cosαrcoshαr αr αr＝krlr＝ lr 4 mr0ω2 EIr0 ir＝ EIr0／lr． 通过求解频率方程（5）可得各阶特征值 λj ＝ ω2 j则第 r 跨梁第 j 阶模态可表示为： ●j（ x r）＝ φjr kjr Bk jr x r－ Mj（ rr＋1） EIrk 2 jr Ck jr x r－ Qj（ rr＋1） IErk 3 jr Dk jr x r （ r＝12…m；j＝12…∞） （6） 式 中 x r ∈ ［0 lr ］ Mj（ rr＋1） ＝ ir ［ Fjrφjr＋ Hjrφj（ r＋1） ］Qj（ rr＋1） ＝ － ir lr ［ Ljrφjr ＋ Njrφjr ］ L jr＝ sinhαjrsinαjr 1－cosαjrcoshαjr αjrNjr＝ coshαjr－cosαjr 1－cosαjrcoshαjr αjr Bkx＝ 1 2 （sh kx ＋sin kx ）Ckx ＝ 1 2 （ch kx －cos kx ） Dkx＝ 1 2 （sh kx－sin kx）． 2 模态摄动法基本理论 对于任意变截面梁求解式（2）的解析解通常是 很困难的常采用近似分析方法．本文应用模态摄 动法利用等效等截面连续梁的计算结果形成一个 求解式（2）的较简单的方法．模态摄动法的基本思 想是把式（2）所表征的变截面连续梁看成是式（4）所 表示的等效等截面连续梁经过参数修改后得到的新 系统这个新系统主模态函数及特征值可以利用等 效梁系统的模态特征进行简单的摄动分析而近似地 求得即设 λj＝λj＋Δλj ●j（ x）＝●j（ x）＋Δ●j（ x） （7） 其中λj＝ω2 j主模态函数的修正量Δ●j 为除●j 外 等截面连续梁其他保留主模态函数的线性组合即 Δ●j（ x）≅ ∑ n k＝1k≠ j ●k（ x） qk （8） 从理论上讲式（8）中的梁有无穷多个主模态 即式（8）中的 n 应为∞但在实际计算时可取有限 个低阶模态进行近似计算．因此在求得Δλjqk（k＝ 12…nk≠ j）这 n 个未知数后代入式（7）即可 求得变截面连续梁的第 j 阶特征值λj 及对应的主 模态函数●j（ x）．将式（7）代入式（2）并在方程两边 乘以 ●i（ x）（ i＝12… n）然后沿全长积分可得： Δλj ∑ n k＝1k≠ j （ miδik＋Δmik） qk＋ 第6期 张怀静等： 变截面连续梁动力特性的半解析解法 ·591·
592 北京科技大学学报 第30卷 [(-)mA:+△mk-△]4+ =1.≠ -新)aE教ha= △(m,十△m)=4-△mi (9) 重复利用上式，可得代数方程： 空()[△()田a ([A]+△[B]){q=ip} (10) △m,(x,)=m,(xr)一m0, 式中， △EL,(x,)=El,(x,)-El,0(r=1,2,,m) [A]= 从上面公式的推导过程来看，利用模态摄动法 (-x1)m1 将复杂的微分方程求解转化为一组非线性代数方程 (-A2)m2 的求解.当m=1时，即可得到文献[11]所分析的 单跨变截面梁动力特性分析的求解方程，非线性代 数方程可用迭代法求解。在求得未知向量{q以后， 从式(T)不难得到变截面连续梁的第j阶主模态特 (hi-An)mn 性.令j=1,2,…,s,可求得截面连续梁的前s阶振 △m11△m12 △m △m1n 动模态.这样，把变系数微分方程转化为s组n阶 △m21△m22 △m2j △m2n 非线性方程组的求解 △ml△m2 △mji △Tjn 3非线性方程组的求解 根据非线性方程(10)的特点，可采用如下较为 .△mml△mn2 △m可 △Tmnr 简单迭代过程2： △k1I△k12 0… △k1司 ([A]+△-[B]){gD=p} (11) △k21△k22 0 △k2n △0=gD (12) △k1△k2 0 △kjn 迭代的初始条件设为： △λ0)=0 (13) △knl△kn2… 0 △knr 迭代终止判断可采用： [B]= |△λ0-△1-1)I/I△λ0|<e (14) m1十△m11 △m12 …0… △mln 式中，上标l表示第l迭代结果，e为收敛误差 △m21 m2十△m22…0… △m2n 4算例 △mj1 △m2 …0。… △mjn 为说明本文计算方法的精度，下面采用有关文 献中的算例对本文计算方法进行验证， △mml △mR2 …0…mn十△m 4.1三跨阶跃连续梁 gl= 图2所示三跨连续梁中，每跨均为等截面，其 qmq2… 90-)△/3 q0+1)… galT, 中中跨的抗弯刚度为边跨的2倍.梁的计算参数 ipl= 为：A=1kgm,EI=1.96GNm2.对于这样各 1△k1)-△m△k2-3△m2…△kg-△m2jT. 跨为等截面的情况，利用动刚度法可以得到两动力 其中， 特性的解析解。为验证本文方法的计算精度，在进 mi= 行模态摄动法计算时，等效等截面连续梁各跨的抗 a(e[()=空m[(✉)a 弯刚度均取为E1,以此为基础，代入式(10)中即可 EI.pA 2EI,PA EI.PA △my=△m(x)(x)9(x)dx= 20m 20m 20m 2am,()克()(d. 图2三跨阶跃梁 Fig.2 Three-span stepped beam
∑ n k＝1k≠ j ［（λj－λi） miδki＋λjΔmik－Δkkj ］ qk＋ Δλj（ mjδij＋Δmij）＝Δkij－λjΔmij （9） 重复利用上式可得代数方程： （［ A］＋Δλj ［ B］）｛q｝＝｛p｝ （10） 式中 ［ A］＝ （λj－λ1） m1 （λj－λ2） m2 ⋱ λjmj ⋱ （λj－λn） mn ＋ λj Δm11 Δm12 … Δm1j … Δm1n Δm21 Δm22 … Δm2j … Δm2n … … … … … … Δmj1 Δmj2 … Δmjj … Δmjn … … … … … … Δmn1 Δmn2 … Δmnj … Δmnn － Δk11 Δk12 … 0 … Δk1n Δk21 Δk22 … 0 … Δk2n … … … … … … Δkj1 Δkj2 … 0 … Δkjn … … … … … … Δkn1 Δkn2 … 0 … Δknn ［ B］＝ m1＋Δm11 Δm12 … 0 … Δm1n Δm21 m2＋Δm22 … 0 … Δm2n … … … … … … Δmj1 Δmj2 … 0 … Δmjn … … … … … … Δmn1 Δmn2 … 0 … mn＋Δmnn ｛q｝＝ ｛q1 q2 … q（j－1） Δλ／j λj q（j＋1） … qn｝T ｛p｝＝ ｛Δk1j－λjΔm1j Δk2j－λjΔm2j … Δknj－λjΔm2j｝ T． 其中 mi＝ ∫ l 0 m（ x）［●i（ x）］ 2d x＝ ∑ m r＝1 m∫r l r 0 ［●ir（ x）］ 2d x Δmij＝∫ l 0 Δm（ x）●i（ x）●j（ x）d x＝ ∑ m r＝∫1 l r 0 Δmr（ x）●ir（ x）●jr（ x）d x Δkij＝∫ l 0 ●i（ x） d 2 d x 2［ΔEI（ x）●″j（ x）］d x＝ ∑ m r＝1∫ l r 0 ●ir（ x） d 2 d x 2［ΔEIr（ x）●″jr（ x）］d x Δmr（ x r）＝ mr（ x r）－ mr0 ΔEIr（ x r）＝ EIr（ x r）－ EIr0 （ r＝12…m）． 从上面公式的推导过程来看利用模态摄动法 将复杂的微分方程求解转化为一组非线性代数方程 的求解．当 m＝1时即可得到文献［11］所分析的 单跨变截面梁动力特性分析的求解方程．非线性代 数方程可用迭代法求解．在求得未知向量｛q｝以后 从式（7）不难得到变截面连续梁的第 j 阶主模态特 性．令 j＝12…s可求得截面连续梁的前 s 阶振 动模态．这样把变系数微分方程转化为 s 组 n 阶 非线性方程组的求解． 3 非线性方程组的求解 根据非线性方程（10）的特点可采用如下较为 简单迭代过程［12］： （［ A］＋Δλ（ l－1） i ［ B］）｛q （ l）｝＝｛p｝ （11） Δλ（ l） i ＝λiq （ l） i （12） 迭代的初始条件设为： Δλ（0） i ＝0 （13） 迭代终止判断可采用： ｜Δλ（ l） i －Δλ（ l－1） i ｜／｜Δλ（ l） i ｜＜e （14） 式中上标 l 表示第 l 迭代结果e 为收敛误差． 4 算例 为说明本文计算方法的精度下面采用有关文 献中的算例对本文计算方法进行验证． 图2 三跨阶跃梁 Fig．2 Three-span stepped beam 4∙1 三跨阶跃连续梁 图2所示三跨连续梁中每跨均为等截面．其 中中跨的抗弯刚度为边跨的2倍．梁的计算参数 为：ρA＝1kg·m －1EI＝1∙96GN·m 2．对于这样各 跨为等截面的情况利用动刚度法可以得到两动力 特性的解析解．为验证本文方法的计算精度在进 行模态摄动法计算时等效等截面连续梁各跨的抗 弯刚度均取为 EI以此为基础代入式（10）中即可 ·592· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第6期 张怀静等：变截面连续梁动力特性的半解析解法 .593 得到阶跃连续梁的动力特性，计算时收敛误差取为 得前五阶频率如表1所示.表1中的有限元法为文 1.0×106.模态摄动法、解析解和其他文献计算所 献[6]的计算结果，计算时将每跨划分为10个单元 表1三跨连续粱的固有频率 Table 1 Natural frequencies of the three"span stepped beam rad's-1 模态阶数 求解方法 3 解析解 38.98227 47.63379 75.23519 152.09888 166.12375 有限元法[阿 38.98277 47.63408 75.23674 152.11717 166.14878 本文方法(n=13) 39.00855(5) 47.99721(4) 75.87858(5) 152.44972(7) 167.36270(5) 本文方法(n=11) 39.01612(5) 47.99751(4) 76.06531(5) 152.45680(7) 167.76442(5) 本文方法(n=9) 39.02227(5) 48.13885(4) 76.24408(5) 152.63090(7) 168.12247(5) 注：表中括号内数据为分析该颜率时的迭代次数 4.2三跨加腋梁 10个单元、中跨划分为14个单元进行有限元分析 连续梁的截面尺寸如图3所示.梁材料参数 所得的结果，以及本文的计算结果一同列于表2作 为：弹性模量E=30GN/m2,密度p=2.4Gg/m3. 比较 在进行模态摄动法计算时，将相应的等效三跨连续 k6+6 A6+6 1.0-1.6 梁的截面面积和惯性矩取为相等，等效梁的截面面 o A 积和惯性矩分别取为A=0.5m2,I=1/24m,计算 0.5 24 8 时的收敛误差取为1.0×10-6.将文献[8]采用无 A-A 图3三跨加腋梁（单位：m) 穷级数展开而得到的解，文献[6]中将两边跨划分为 Fig.3 Three-span continuous haunched beam (unit:m) 表2三跨加腋梁的固有频率 Table 2 Natural frequencies of the three"span continuous haunched beam rad.s-1 模态阶数 求解方法 1 2 3 4 5 有限元法[] 24.63008 41.84098 58.04784 99.45905 144.17334 无穷级数法[] 24.62893 41.83935 58.04443 99.45083 144.15530 本文方法(n=13) 24.64576(5) 41.88631(4) 58.06529(5) 99.79603(5) 144.48033(4) 本文方法(n=11) 24.65238(5) 41.95022(4) 58.08823(5) 99.92878(5) 144.95147(4) 本文方法(n=9) 24.72002(5) 41.98206(4) 58.09888(5) 101.65678(6) 146.35473(5) 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数 参考文献 5结语 [1]Fryba L.Vibration of Solids and Structures under Moving 采用模态摄动方法计算变截面连续梁的动力特 Loads.Netherlands:Noordhoff International Publishing.1972 性比较有效，收敛较快，通常迭代小于10次即可收 [2]Cao X Q,Liu B S,Wu P X.Structural Dynamic Analysis of 敛.同时，随着计算模态数的增加，模态摄动法的计 Bridges.Beijing:China Railw ay Press.1987 (曹雪琴，刘必胜，吴鹏贤。桥梁结构动力分析.北京：中国铁 算误差越小，这是因为模态摄动法求解体系的固有 道出版社，1987) 频率，本质上属于tz法，选取了与变截面梁密切 [3]Xia H.Zhang N.Dynamic Interaction of Vehicles and Struc- 相关的等效连续梁的主模态函数作为近似函数，因 Lures Beijing:Science Press,2002 而计算结果具有较高的精度，该方法为动力分析的 (夏禾，张楠·车辆与结构动力相互作用。北京：科学出版社， 2002) 近似计算方法，为保证前m阶频率和模态计算的精 [4]Wu JS.Dai C W.Dynamic responses of multispan nonuniform 度，模态摄动法计算时计算模态数n的选取必须大 beam due to moving load.J Struct Eng.1987.113:458 于m (下转第619页)
得到阶跃连续梁的动力特性．计算时收敛误差取为 1∙0×10－6．模态摄动法、解析解和其他文献计算所 得前五阶频率如表1所示．表1中的有限元法为文 献［6］的计算结果计算时将每跨划分为10个单元． 表1 三跨连续梁的固有频率 Table1 Natural frequencies of the three-span stepped beam rad·s －1 求解方法 模态阶数 1 2 3 4 5 解析解 38∙98227 47∙63379 75∙23519 152∙09888 166∙12375 有限元法［6］ 38∙98277 47∙63408 75∙23674 152∙11717 166∙14878 本文方法（ n＝13） 39∙00855（5） 47∙99721（4） 75∙87858（5） 152∙44972（7） 167∙36270（5） 本文方法（ n＝11） 39∙01612（5） 47∙99751（4） 76∙06531（5） 152∙45680（7） 167∙76442（5） 本文方法（ n＝9） 39∙02227（5） 48∙13885（4） 76∙24408（5） 152∙63090（7） 168∙12247（5） 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数． 4∙2 三跨加腋梁 连续梁的截面尺寸如图3所示．梁材料参数 为：弹性模量 E＝30GN／m 2密度 ρ＝2∙4Gg／m 3． 在进行模态摄动法计算时将相应的等效三跨连续 梁的截面面积和惯性矩取为相等等效梁的截面面 积和惯性矩分别取为 A ＝0∙5m 2I＝1／24m 4计算 时的收敛误差取为1∙0×10－6．将文献［8］采用无 穷级数展开而得到的解文献［6］中将两边跨划分为 10个单元、中跨划分为14个单元进行有限元分析 所得的结果以及本文的计算结果一同列于表2作 比较． 图3 三跨加腋梁（单位：m） Fig．3 Three-span continuous haunched beam （unit：m） 表2 三跨加腋梁的固有频率 Table2 Natural frequencies of the three-span continuous haunched beam rad·s －1 求解方法 模态阶数 1 2 3 4 5 有限元法［6］ 24∙63008 41∙84098 58∙04784 99∙45905 144∙17334 无穷级数法［8］ 24∙62893 41∙83935 58∙04443 99∙45083 144∙15530 本文方法（ n＝13） 24∙64576（5） 41∙88631（4） 58∙06529（5） 99∙79603（5） 144∙48033（4） 本文方法（ n＝11） 24∙65238（5） 41∙95022（4） 58∙08823（5） 99∙92878（5） 144∙95147（4） 本文方法（ n＝9） 24∙72002（5） 41∙98206（4） 58∙09888（5） 101∙65678（6） 146∙35473（5） 注：表中括号内数据为分析该频率时的迭代次数． 5 结语 采用模态摄动方法计算变截面连续梁的动力特 性比较有效收敛较快通常迭代小于10次即可收 敛．同时随着计算模态数的增加模态摄动法的计 算误差越小．这是因为模态摄动法求解体系的固有 频率本质上属于 Ritz 法选取了与变截面梁密切 相关的等效连续梁的主模态函数作为近似函数因 而计算结果具有较高的精度．该方法为动力分析的 近似计算方法为保证前 m 阶频率和模态计算的精 度模态摄动法计算时计算模态数 n 的选取必须大 于 m． 参 考 文 献 ［1］ Fryba L． V ibration of Solids and Structures under Moving Loads．Netherlands：Noordhoff International Publishing1972 ［2］ Cao X QLiu B SWu P X．Structural Dynamic A nalysis of Bridges．Beijing：China Railway Press1987 （曹雪琴刘必胜吴鹏贤．桥梁结构动力分析．北京：中国铁 道出版社1987） ［3］ Xia HZhang N．Dynamic Interaction of Vehicles and Structures．Beijing：Science Press2002 （夏禾张楠．车辆与结构动力相互作用．北京：科学出版社 2002） ［4］ Wu J SDai C W．Dynamic responses of multispan nonuniform beam due to moving load．J Struct Eng1987113：458 （下转第619页） 第6期 张怀静等： 变截面连续梁动力特性的半解析解法 ·593·
第6期 孟琳等：活化极化控制下合金表观与真实腐蚀极化图 .619. 参考文献 terey:Brooks/Cole Engineering Division.1984:694 [8]Stern M.Surface area relationships in polarization and corrosion. [1]Wranglen G.An Introduction to Corrosion and Protection of Metals.Sweden:Institute for Metallskydd.1972:60 Corrosion,1958,14(7):329 [2]Evans U R.The distribution and velocity of the corrosion of met- [9]Stern M.Fundamentals of electrode process in corrosion.Corro- als.J Franklin Inst,1929.208(7):45 si0n,1957,13(11):775 [3]Evans U R.The Corrosion and Oxidation of Metals:Science [10]Mansfeld F,Hengstenberg D H.Kenkel J V.Galvanic corrosion Principles and Practical Applications.London:Hodder Arnold of Al alloys I:Effect of dissimilar metal.Corrosion.1974.30 Press,1961 (10):343 [4]Uhlig HH,R W Rieve.Corrosion and Corrosion Control:An [11]Mansfeld F.Area relationships in galvanic corrosion.Corrosion. 1971,27(10):436 Introduction to Corrosion Science and Engineering.New York: Wiley,1985:48 [12]Cao C N.Corrosion Electrochemistry.Beijing:Chemical Indus- [5]Simand M T,Evans U R.The influence of stress upon the elee- try Press,2004 (曹楚南.腐蚀电化学原理.北京：化学工业出版社，2004) trode potential and polarization of iron and steel in acid solution Trans Faraday Soc,1950.46(3):175 [13]Liu Y H.Electrochemical Measurement Technique.Beijing: [6]Stern M.Geary A L.Electrochemical polarization I:A theoreti- Beijing College of Aeronautics Press.1987 cal analysis of the shape of polarization curves.J Electrochem (刘永辉，电化学测试技术.北京：北京航空学院出版社， 1987) Sc,1957,104(1):56 [7]Askeland DR.The Science and Engineering of Materials.Mon- (上接第593页) 济大学学报，1994,22(3)：268) [5]Zheng D Y.Cheung Y K.Au F T K.et al.Vibration of multi- [10]Lou ML.Dynamic analysis for modal characteristics and seismic span non"uniform beams under moving loads by using modified response of soil layer with variable properties.Tongji Univ. beam vibration functions.J Sound Vib.1998.212(3):455 1997,25(2):155 [6]Martinez-Castro A E.Museros P,Castillo-Linares A.Semi-ana- (楼梦麟.变参数土层的动力特性和地震反应分析·同济大 lytic solution in the time domain for non uniform multi"span 学学报，1997,25(2)：155) Bernoulli-Euler beams traversed by moving loads.Sound Vib. [11] Lou M L.Wu J N.An approach to solve dynamic problems of 2006,294(1):278 complicated beams.Shanghai Mech.1997.18(3):234 [7]Henchi K.Fafard M.Dynamic behaviour of multi"span beams un- (楼梦麟，吴京宁，复杂梁动力问题的近似分析方法。上海力 der moving loads.J Sound Vib.1997.199(1):33 学，1997,18(3)：234) [8]Dugush Y A.Eisenberger M.Vibrations of non uniform continu- [12]Pan D G.Dong C.Approach to solve dynamic problems of ous beams under moving loads.J Sound Vib,2002.254(5): cracked beams-Chin JAppl Mech.2005.22(1):119 911 (潘旦光，董聪.局部损伤梁动力问题的近似计算方法，应用 [9]Lou M L.Perturbation solution of linear generalized eigenvalue 力学学报，2005,22(1)：119) problem in the modal subspace.J Tongji Univ.1994.22(3): [13]Wang G Y.Vibration of Structures.Beijing:Science Press. 268 1978 (楼梦麟.线性广义特征值问题在模态子空间中的摄动解.同 (王光远。建筑结构的振动，北京：科学出版社，1978)
参 考 文 献 ［1］ Wranglen G． A n Introduction to Corrosion and Protection of Metals．Sweden：Institute for Metallskydd1972：60 ［2］ Evans U R．The distribution and velocity of the corrosion of metals．J Franklin Inst1929208（7）：45 ［3］ Evans U R．The Corrosion and Oxidation of Metals：Science Principles and Practical Applications．London：Hodder Arnold Press1961 ［4］ Uhlig H HR W Rieve．Corrosion and Corrosion Control：A n Introduction to Corrosion Science and Engineering．New York： Wiley1985：48 ［5］ Simand M TEvans U R．The influence of stress upon the electrode potential and polarization of iron and steel in acid solution． T rans Faraday Soc195046（3）：175 ［6］ Stern MGeary A L．Electrochemical polarization I：A theoretical analysis of the shape of polarization curves． J Electrochem Soc1957104（1）：56 ［7］ Askeland D R．The Science and Engineering of Materials．Monterey：Brooks／Cole Engineering Division1984：694 ［8］ Stern M．Surface area relationships in polarization and corrosion． Corrosion195814（7）：329 ［9］ Stern M．Fundamentals of electrode process in corrosion．Corrosion195713（11）：775 ［10］ Mansfeld FHengstenberg D HKenkel J V．Galvanic corrosion of Al alloys Ⅰ：Effect of dissimilar metal．Corrosion197430 （10）：343 ［11］ Mansfeld F．Area relationships in galvanic corrosion．Corrosion 197127（10）：436 ［12］ Cao C N．Corrosion Electrochemistry．Beijing：Chemical Industry Press2004 （曹楚南．腐蚀电化学原理．北京：化学工业出版社2004） ［13］ Liu Y H． Electrochemical Measurement Technique．Beijing： Beijing College of Aeronautics Press1987 （刘永辉．电化学测试技术．北京：北京航空学院出版社 1987） （上接第593页） ［5］ Zheng D YCheung Y KAu F T Ket al．Vibration of mult-i span non-uniform beams under moving loads by using modified beam vibration functions．J Sound V ib1998212（3）：455 ［6］ Martinez-Castro A EMuseros PCastillo-Linares A．Sem-i analytic solution in the time domain for non-uniform mult-i span Bernoull-i Euler beams traversed by moving loads．J Sound V ib 2006294（1）：278 ［7］ Henchi KFafard M．Dynamic behaviour of mult-i span beams under moving loads．J Sound V ib1997199（1）：33 ［8］ Dugush Y AEisenberger M．Vibrations of non-uniform continuous beams under moving loads．J Sound V ib2002254（5）： 911 ［9］ Lou M L．Perturbation solution of linear generalized eigenvalue problem in the modal subspace．J Tongji Univ199422（3）： 268 （楼梦麟．线性广义特征值问题在模态子空间中的摄动解．同 济大学学报199422（3）：268） ［10］ Lou M L．Dynamic analysis for modal characteristics and seismic response of soil layer with variable properties．J Tongji Univ 199725（2）：155 （楼梦麟．变参数土层的动力特性和地震反应分析．同济大 学学报199725（2）：155） ［11］ Lou M LWu J N．An approach to solve dynamic problems of complicated beams．Shanghai J Mech199718（3）：234 （楼梦麟吴京宁．复杂梁动力问题的近似分析方法．上海力 学199718（3）：234） ［12］ Pan D GDong C．Approach to solve dynamic problems of cracked beams．Chin J Appl Mech200522（1）：119 （潘旦光董聪．局部损伤梁动力问题的近似计算方法．应用 力学学报200522（1）：119） ［13］ Wang G Y．V ibration of Structures．Beijing：Science Press 1978 （王光远．建筑结构的振动北京：科学出版社1978） 第6期 孟 琳等： 活化极化控制下合金表观与真实腐蚀极化图 ·619·