中山大学：《化工原理》课程教学资源（教案讲义）第一章 流体流动

图1-6层流表征图 平均速度是最大流速的一半, 如图1-6所示。 湍流特征:流体质点杂乱无章,仅在管壁处存在速度梯度,速度分布服从尼古拉则的 七分之一次方定律:2=y7应用范围是Re=11°,平均流速是最大流速的08 倍,=0.81,如图1-7所 图1-7湍流表征图 1-5层流速度分布式的推导 图1-8速度分布推导图 如图1-8所示,在半径为R的管内,取半径为r,长为L的圆柱流体讨论 作用于流体柱左端面的力为:Pm2 6

6 图 1-6 层流表征图 平均速度是最大流速的一半， max 2 1 u = u ，如图 1-6 所示。 湍流特征：流体质点杂乱无章，仅在管壁处存在速度梯度，速度分布服从尼古拉则的 七分之一次方定律： 7 1 max       = R y u ur 应用范围是 5 Re = 1.110 ，平均流速是最大流速的 0.8 倍， 8 max u = 0. u ，如图 1-7 所示。 图 1-7 湍流表征图 1-5 层流速度分布式的推导 图 1-8 速度分布推导图 如图 1-8 所示，在半径为 R 的管内，取半径为 r ，长为 L 的圆柱流体讨论。 作用于流体柱左端面的力为： 2 1 p r

作用于流体柱左端面的力为:-P2m2 流体柱外表面受的内摩擦力为:-F 由牛顿粘性定律得:F= 而y=R-r dy F=u(2TrL dr 在稳定流动条件下,上述合力为零,得: (p-P2知m2+2md=0→2d=p-2)y du=_p1-p2 当r=R时,=0;r=r时,=,积分上式(1)得 2)-n-2.-R=B.P2(R2-r2 P1-p2 P-P2R2|1 u- ALu R 当r=0时,a=mx D1-p2 代入上式得: u=imux R 将上式作图,如图1-9所示。 图1-9层流速度分布示意图

7 作用于流体柱左端面的力为： 2 2 − p r 流体柱外表面受的内摩擦力为：― ' F 由牛顿粘性定律得： y R r dy du F = A ,而 = − '  ( ) dr dy dy dr F rL −  = −  =  2 ' 在稳定流动条件下，上述合力为零，得： ( ) (p p )r dr du L dr du p p r rL 1 2 2 1 − 2  + 2  = 0  2  = − − rdr L p p du         −  = − 2  1 2 ………………(1) 当 r = R 时， u = 0 ； r = r 时， u = u ，积分上式 (1) 得： rdr L p p du r R u   − = − 2  1 2 0 r R r L p p u 2 2 2 1 2  −  = −  ( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 R r L r R p p L p p − − = −  − = −                 − −  = 2 1 2 2 1 4 R r R L p p u  ……………(2) 当 r = 0 时 1 2 2 max max 4 R L p p u u u  − ， = ， = 代入上式得：               = − 2 max 1 R r u u ……………(3) 将上式作图，如图 1-9 所示。 图 1-9 层流速度分布示意图

1-6层流平均流速与最大流速 在层流条件下,平均速度u与最大速度u的关系如何呢? u R 图1-10管内流体速度分布示意图 如图1-10所示,设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成,以第i个圆筒形 流体来分析,该圆筒流体的流量为:△1=2兀xMr1×l1 总流量为:=∑AV=∑2mM1 当n→∞时,(即N取足够小,圆筒数量取足够小时)N→d t·2mdr V= 2zrdr 由于 代入上积分得: R R丿R →2r;d=Rdn R)鬥(R =m|(R-2(R 所以,在层流条件下,平均流速是最大流速的一半。 §2流体质量衡算一一连续性方程

8 1-6 层流平均流速与最大流速 在层流条件下，平均速度 u 与最大速度 max u 的关系如何呢？ 图 1-10 管内流体速度分布示意图 如图 1-10 所示，设管内流体由速度不等的几个圆筒形流体组合而成，以第 i 个圆筒形 流体来分析，该圆筒流体的流量为： i i i ui V = 2r  r    = = =  =    n i i i i n i V Vi r r u 1 1 总流量为： 2 n r r dr 当 →时，（即 i取足够小，圆筒数量取足够小时） i →   = R V urdr 0 2 2 0 2 2 R u rdr R V u R       = = 由于               = − 2 max 1 R r u u ， 代入上积分得： 2 0 2 max 1 2 R rdr R r u u R                  − = 2 2 2 2 1 2           =        =      R r dr r dr R d R R r R r d             = 2 2 2 R R r r dr d 2 0 2 2 2 max 1 R R r d R r u R u R                        −  = max 0 2 4 max 2 1 2 1 u R r R r u R =                −      = 所以，在层流条件下，平均流速是最大流速的一半。 §2 流体质量衡算——连续性方程

1-7连续性方程的导出 图1-1连续性方程推导图 如图1-11所示,此导管由直径为d1,d2,dl3的三段直管所组成,流体流速为l1,l2,l2° 我们取从截面1-1到截面2-2的范围作流体的质量衡算。 m1=m2kg·s-(稳定流动) V1p1=V22m3s-×kgm3 p2 由于液体是不可压缩的,所以n1=P2 4d2=l2d2;同理可得:u1d2=u3d2 l4d2=l2d2=u2d3=常数 () 式(()称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程 §3流体能量衡算一一柏努利方程 1-8柏努利方程的导出 u2,P2 加热器2 W 基准面

9 1-7 连续性方程的导出 图 1-11 连续性方程推导图 如图 1-11 所示，此导管由直径为 1 2 3 d ,d ,d 的三段直管所组成，流体流速为 1 2 3 u ,u ,u 。 我们取从截面 1-1 到截面 2-2 的范围作流体的质量衡算。 ( ) 1 m1 = m2 kg s − 稳定流动 ………………(I) 3 1 3 1 1 2 2 − − V  =V  m s  kg m ； 2 2 1 2 2 2 1 1 4 4     u  d  = u  d  由于液体是不可压缩的，所以 1 = 2 u1d1 2 = u2d2 2 ； 同理可得： 2 3 3 2 u1d1 = u d  = = = 2 3 3 2 2 2 2 u1d1 u d u d 常数 ……………(II) 式 (I)(II) 称为不可压缩流体的稳定流动的连续性方程。 §3 流体能量衡算——柏努利方程 1-8 柏努利方程的导出

图1-12柏努利方程推导图 如图112所示,设有mkg流体由1-1截面流至22截面,流体流速分别为1和n2 流体具有的压强分别为p1和P2°我们对11和22范围的流体作能量衡算 (1)势能一一先取基准面。在1-1和2-2截面所具有的势能分别为:mg=1和mg=2 其单位是:kg·m·s2·m→J (2)动能一在1和22截面具有的动能分别为,m和 其单位是 (3)压强能一—一压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量?生活中许多例 子可以说明。液压吊车,就是利用高压油(流体)推动活塞来做功的,其动力就是高压油泵 洒水车,就是利用高压水清扫路面的;工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压流体释 放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气,我们通过对打气筒的活塞做功,使常压空气充到内胎中 变成加压空气。这就是说,为了使流体具有高的压强,必须对流体做功,这是流体吸收能量 的例子。 竹2 图1-13压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢?如图1-13所示,要将压强为P2,质量为m[kg]的流体 推出系统之外,做了多少功呢? 推力为:F=P2·A 流体走过的距离为:1=mkg kg 所以做功为:F.=P2Am 2"n N·m→J 此即为mkg的流体在2-2截面具有的压强能。于是,在1-1和2-2截面,mkg流体 具有的压强能分别为:m和皿,其单位是:J

10 图 1-12 柏努利方程推导图 如图 1-12 所示，设有 m kg 流体由 1-1 截面流至 2-2 截面，流体流速分别为 1 u 和 2 u ； 流体具有的压强分别为 1 p 和 2 p 。我们对 1-1 和 2-2 范围的流体作能量衡算。 （1） 势能——先取基准面。在 1-1 和 2-2 截面所具有的势能分别为： mgz1 和 mgz2 。 其单位是： kg ms  m  J −2 （2） 动能——在 1-1 和 2-2 截面具有的动能分别为： 2 2 2 2 2 mu1 mu 和 ，其单位是： kg m s  J 2 −2 （3） 压强能——压强能在普通物理中讲得不多。压强具不具有能量？生活中许多例 子可以说明。液压吊车，就是利用高压油（流体）推动活塞来做功的，其动力就是高压油泵； 洒水车，就是利用高压水清扫路面的；工厂中用高压空气清扫车间等等。这都是高压流体释 放能量的例子。 又例如我们为自行车内胎充气，我们通过对打气筒的活塞做功，使常压空气充到内胎中， 变成加压空气。这就是说，为了使流体具有高的压强，必须对流体做功，这是流体吸收能量 的例子。 图 1-13 压强能的表达形式 压强能的表达形式如何呢？如图 1-13 所示，要将压强为 2 p ，质量为 m [kg] 的流体 推出系统之外，做了多少功呢？ F = p  A N m m  N −2 2 推力为： 2 流体走过的距离为： m m m kg kg A m l   = 2 3  所以做功为： N m J mp A p A m F l =     =   2 2 此即为 m kg 的流体在 2-2 截面具有的压强能。于是，在 1-1 和 2-2 截面， m kg 流体 具有的压强能分别为：   mp1 和 mp2 ，其单位是： J