则f(x)的傅立叶级数收敛在区间[-π,π]上收敛,并且它的和函数为 S(x)=2 (a,cosnx b, sinn) f(r) 当x为f(x)的连续点 f(x-0)+f(x+0 当x为f(x)的间断点 (-+0)+f(x-0)当x=±r 2 定理中的两个条件称为狄利克雷条件。 4.4.2正弦级数和余弦级数 (1)正弦级数。设f(x)在区间[-x,x上是奇函数时,级数+∑( a cosx+b,in) 为正弦函数级数∑6snx,其中b,=2(x) sinnxdx(n=1,2,…)。 (2)余弦级数。设f(x)在区间[一x,x上是偶函数时级数+∑(a2c0smx+b2sinx) 为余弦级数2+∑acx,其中a,=2(0mndx(n=0,2,-) 14.4.3周期为2l的周期函数的傅立叶级数 设f(x)在[-l,](或-l,1)上有定义,则三角级数 x 为∫(x)在[-l,l](或-l,1)上以2l为周期的傅立叶级数,其中 几Tx dx n =1.2 级数的主要性质 若∑an和∑b收敛,则∑(an±b)收敛,且 (an±bn) bn 若∑a收敛,c为常数,则∑can收敛,且 级数收敛的必要条件:若∑a收敛,则 T lim a=0。 15常微分方程 15.1基本概念 (1)含有自变量、未知函数及其导数(或徽分)的方程称为微分方程。如果在微分方程中, 自变量的个数只有一个,则称它为常微分方程,简称微分方程
(2)微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数,称为微分方程的阶数。 (3)满足分方程的函数称为微分方程的解,微分方程的解有时是显式形式:y=f(x)或 x=g(y);有时为隐式形式:f(x,y)=0。 (4)含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程的通解 不包含任意常数的解称为方程的特解。 (5)对n阶微分方程,条件 称为初始条件,根据初始条件,可以在通解中确定出所有任意常数的值而得到一个特解 15.2可分高支方程 (1)可分离变量方程,形如=~的一阶微分方程称为可分离变量方程 解法将4&离变量写成g(y)dy=(x)dx,然后两端分别积分x(y)dy= f(x)dx,如此求通解的方法称为分离变量法。设g(y)fx)的原函数为G(y)、F(x),则方 程的通解为G(y)=F(x)+C(C为常数)。 (2)齐次方程,形如 的方程称为齐次方程。 解法:做变换u=2,即y=x两边对x求导,心“+x日,代入齐次方程得可分离变 量方程 1.53一阶性方程 y+P(x)y=Q(x)称为一阶线性方程。当Q(x)=0时,称为线性齐次方程,否则称为线 性非齐次方程。 解法:首先用分离变量法求出相应的线性齐次方程y+P(x)y=0的通解 =cPxd,再用常数变更法求出非齐次方程的一个特解y',即令y’=c(x)eP(xdt [C(x)是待定函数]代入原方程后确定出 C(x)=9 x Je P(sdx 故y’=cJm|(x)fn)dx,原排齐次方程的通解为 y=y+y'se: Ptrdstc+e(x)e/pcadrdzl 154可降阶方程 这里讨论的几种特殊类型的高阶微分方程,利用变量代换将方程降阶,因此称这些高阶方 程为可降阶方程。 (1)y)=f(x)。这类方程只需连续积分n次即可。积分一次得y1=Jf(x)dx+C, 把原方程降低一阶。积分n次得通解为y--)xd+cx+c2x2+“+c (2)y=f(x,y)。此方程的特点为不显含y
解法:令y=p(x),则了d(x),原方程化简为=(x,p),关于x,p的一阶微分 方程。 (3)y”=f(y,y')。此方程的特点为不显含x dp(y)dp(y)dy.dp 解法:令y=p1(y),则y- dx dy dx=D9原方程化简为pdy=f(y,P),关于 y,p的一阶微分方程。 55常集数线性方程 y+p1y+py=Q(x)称为二阶线性方程,Q(x)称为自由项,P1、P2为常数,当Q(x)=0 时,称为二阶常系数线性齐次方程,否则称为二阶常系数线性非齐次方程。 1.55.1二阶常系数线性齐次方程 方程r2+p1r+p2=0称为二阶常系数线性齐次方程y+py'+P2y=0的特征方程,其解 称为特征根。根据特征根的不同,可直接写出二阶常系数线性齐次方程的通解,见表1-5。 衰1-5 微分方程的特征根与通解衰 特征根 徽分方程的通解 解特征根 微分方程的通解 两个不等实根r,r2 y= CIel*+ C2e'2' 对共轭复根a±4 y=e"(CIconIa+CzBin@x) 重根r1=72=r =(C 1552二阶常系数线性非弃次方程 设二阶常系数线性非齐次方程y”+p1y+py=Q(x),解法 (1)求出对应的二阶常系数线性齐次方程y+p1y+P2y=0的通解y(x); (2)求出y+P1y+p2y=Q(x)的一个特解y(x) (3)求出y+P1y+P2y=Q(x)的通解y(x)=y(x)+y‘(x) 当自由项Q(x)为Pn(x)e",e"copx,e"sinx时,可用待定系数法求非齐次方程的特解 y(x)。 (1)如果Q(x)=Pm(x)e,其中Pn(x)是m次多项式,则当λ不是特征根时,设特解 y'(x)=gn(x)e;当λ是单重特征根时,设特解y(x)=n(x)e;当λ是二重特征根时, 设特解y(x)=x2gm(x)e,当n(x)是待定的m次多项式将所设特解带人非齐次方程定 出φn(x),即可得出特解y‘(x)。 (2)如果Q(x)=e"cosx,或Q(x)=e" sin p x 1)设特解y(x)=x2e"( Acos 3 x+ Bsin B x)其中当a±不是特征根时,k=0;当a± 是特征根时,k=1;将y‘(x)代入非齐次方程定出常数A、B即可得出特解。 2)考虑方程y+P1y+P2y=e),这里k=a±的特待解y(x)=y(x)+iy(x),则 其实部y(x)是方程y+p1y+py=e" cost的特解,其虚部y2(x)是方程y+p1y+P2y =e" sinB x的特解。 【例1-12】求解下列微分方程: (1)求微分方程y=1+x+y2+xy2的通解 (2)求微分方程y+ 0满足y(0)=1的特解 +4 解:(1)为可分离变量微分方程
+x)dx 等式两边同时积分得 arctan=(1 +x)dx =x+4+c 其中c为任意常数。 (2)为齐次一阶线性微分方程,可分离变量 2 等式两边同时积分得 ∫=l1y1=-丁24=-1,4x2+4)=-h(x2+4)+li 其中c=±c为任意常数,将y(0)=1代人上式,得c=4,满足初始条件的特解为y=-214° 【例1-13】求解下列微分方程 (1)求微分方程y-4y+4y=3e2的通解; (2)求微分方程y+3y+2y=3sinx的通解 解出A=2,齐次微分方程的通解为y=a 解:(1)所给方程的特征方程为2-4A+4 t c2xe 其中c1、c2为任意常数,因为是二重根故设所给方程的一个特解为y’=Ax2c2,得 (y)=(Ax2e25)=(Ax2)*+Ax2(e2x)=2A(x+x2)e2s (y)=[2A(x+x2)e2=[2A(x+x2)]e2+2A(x+x2)(e2) =2A(1+2x)e2x+4A(x+x2)e2x=2A(1+4x+2x2)e2x 代入所给方程得 2A(1+4x+2x2)e2x-4[2A(x+x2)e2x]+4Ax2e2h=3e 即 2Aezx= 3et 得A=,由此得题给方程的通解为 t cyx (2)所给方程的特征方程为 A2+3A+2=0 解出A1=-2,入2=-1,齐次微分方程的通解为y=ce-22+a2e- 其中e1、c2为任意常数,设所给方程的一个特解为y‘= nginx+ Bcos,得 (y)=-Asinx-Bcosx 代入所给方程得
(-Asinx-Bcosx)+3(Acosx-Bsinx)+2(Asinx +Bcosx (A-3B)sinx +(3A+ B)cosx=sinx 3 A-3B=3 得 解出 即特解为 3A+B=0 B 由此得所给方程的通解为 101nx-10∞0sx+c1e 1,6概率与数理统计 16.1随机事件与扼卓 16.1.1随机事件 1.6.1.1.1定义 (1)随机试验(试验):是指一定综合条件的实现条件实现一次完成一次试验,试验就是观 察 (2)样本空间(用字母S表示):试验可能出现的每一个结果组成的集合称为该试验的样 本空间,试验可能出现的每一个结果(即样本空间的元素)称为样本点,或基本事件。 (3)随机事件(常用字母A,B,…表示):样本空间的任一子集AcS称为随机事件,φ称 为不可能事件,Q称为必然事件。 1.6.1.1.随机事件之间的关系 (1)包含:若事件A发生必然导致事件B发生,则事件B包含事件A,记作ACB或 BA (2)相等:若事件A和事件B相互包含,即A3B,BA,则称这两个事件相等,记作A= (3)并(和):称“两个事件A与B中至少有一个发生”这一事件C为事件A与事件B的并 (或和),记作C=A∪B(或C=A+B) (4)交(积):称“两个事件A与B同时发生”这一事件D为事件A和事件B的交(或积),记 作D=A∩B(或D=AB)。 (5)差:称“事件A发生而事件B不发生”这一事件E为事件A和事件B的差,记作E=A (6)逆:事件A的逆事件A=-A (7)互不相容若两个事件A与B满足AB=φ,则称事件A与B互不相容(或互斥);否则 称事件A与事件B为相容事件。 (8)互余:若事件A与B满足AUB=,且AB=,则称A与B它们为互余事件(或对立 事件),记为B=A或A=B。相互对立的事件一定是互不相容事件。 16.1.13随机事件的运算 交换律:AUB=B∪A;A∩B=B∩A 结合律:A∪(BUC)=(A∪B)∪C;