A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)U(A∩C); AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)。 德摩根律(对偶原理):AUB=A∩B;A∩B=A∪B。 1.6.1.2概率 1.6,1.2,1定义 设S是随机试验E的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数P(A),如果P(A)满 足下列条件 (1)对于任一事件A,有1≥P(A)≥0; (2)对于S,有P(S) (3)对于两两互不相容事件A1,A2,…,有可列可加性,即 P(A1UA2…)=P(A1)+P(A2)+…则称P(A)为事件A的概率,也可以用数值 P~aA/n来定义概率邇常称为统计概率。还可以把事件A与样本空间分别表述为几何量S 与S用P=SA/S来定义概率称为几何概率,它们都是概率。 161.22概率的基本性质 (1)P()=1,P(ψ)=0。 (2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。若AB=φ,则 P(AUB)=P(A)+P(B 若BcA,则P(A-B)=P(A)-P(B) (3)P(A)=1-P(A)。 (4)P(A1UA2U…UA)=∑P(A1)-∑P(A4+∑P(AA1)-…+ (-1)21P(A1A2…An 若AA=中(i≠j,i,j=1,2,…,n),则 P(A1UA2U…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(A) 1.6.123条件概率及概率的乘法定理 (1)条件概率。在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率称为事件A在给定条件 B下的条件概率,记为P(AIB),而把P(A)称为无条件概率。 条件概率符合概率定义中的三个条件 1)对于每一事件A,有l≥P(A|B)≥0 2)P(S!B)=1 3)对两两互不相容事件A1,A2,…,有 P(A1∪A2U…IB)=P(A1B)+(A2B)+ 概率的一些运算性质都适用于条件概率。 (2)乘法定理。设P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B1A), 或 P(AB)= P(B)P(AIB), P(B)>0 1.6.1.2,4全概率公式和贝叶斯公式 定义:设B1,B2,…,B是随机试验E的一组事件,若 BB=(i≠j计=1,2,…,n),B1UB2U…UBn=
则称B1,B2,…,Bn为样本空间的一个划分或一个完备事件组。 (1)全概率公式:如果B1,B2,…,B是随机试验E的样本空间a的一个划分,A是E的 个事件,且P(B)>0(i=1,2,…,n),则 P(A)=P(B,). P(A I B1)+P(B2)P(A I B2)+.+ P(B,P(A I B,) P(BP(A I B:) (2)贝叶斯公式:如果B1,B2,…,Bn是随机试验E的样本空间a的一个划分,A是E的 个事件,且P(A),P(B;)>0(i=1,2,…,n),则 P(A I BiP(Bi) P(B1|A)= (i=1,2 ∑P(A!B)P(B) 6.125事件的独立性 (1)设A、B是随机试验E的两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事 件B相互独立。 (2)设A1,A2,…,An是随机试验E的a个事件,如果满足等式 P(AA)=P(A1)P(41)(1≤i≤j≤n) P(AA14k)=P(A1)P(A)P(Ak)(1≤i<j<k≤n) P(A1A2…An)=P(A)P(A2)…P(An) 则称A1,A2,…,A相互独立。 例1-14】在不超过500的自然数里随机地取一数则取出的数不能被6或不能被8整 除的概率是多少? 解:设A表示“取出的数能被6整除”,B表示“取出的数能被8整除”,则 A∩B={取出的数同时能被6与8整除}, A∪B={取出的数不能被6或不能被8整除} 由于一个自然数同时能被6与8整除就相当于能被24整除,而20<580<21,故 P(A∩B)=201 于是P(AUB)=P(A∩B)=1-P(A∩B)=1-2525 【例1-15】某种类型的灯泡,用满00小时仍未坏损的概率为3,用满10时仍未 坏损的概率为占,试求一个已经用过500小时的这种灯泡能够用到10时的概率。 解:设A=灯泡用满5000时仍未损坏,B={灯泡用满10000小时},则所求的概率为 P(B|A)。显然BCA,所以AB=B,因此 P(B1A)=P(AB)=P(B=16=2 例1-16】甲、乙、丙3人各自独立地炮击同一架飞机,3人击中飞机的概率分别是0.4、 0.50.7,如果只有一人击中,则飞机被击落的概率是02;如果有2人击中,则飞机被击落的概 率是06;如果3人都击中,则飞机必定被击落
(1)求飞机被击落的概率。 (2)已知飞机被击落求飞机是被一人击中的概率。 (3)已知飞机被击落,求飞机是只被甲击中的概率。 解:设A1、A2、A3依次表示飞机被1,2,3人击中;F、S、T依次表示甲、乙、丙击中飞机;B 表示飞机被击落。则P(F)=0.4,P(S)=0.5,P(T)=0.7,且 P(B|A1)=0.2,P(BA2)=0.6,P(B|A3)=1 易知 A1= FSTUFSTUFST,且三事件FST、FST及FST互斥 A2= FS TUFSTU FST且三事件FST、FST及FST互斥; 注意到事件F、S及T的相互独立性,所以 P(AD=P(FST)+P( FS T)+P( FST) P(F)P( S)P( T)+P( F)P(S)P( T)+ P( F)P( S)P(T) 0.4×0.5×0.3+0.6X0.5×0.3+0.6×0.5×0.7 0.36 同理,得P(A2)=0.41,P(A3)=0.14,故 (1)利用全概率公式,飞机被击落的概率为 P(B)=2P(A)P(B|A)=0.36×02+0.41x0.6+014x1=048 (2)利用贝叶斯公式,被击落的飞机是被一人击中的概率为 P(A1B)P(A1)P(B|A:)0.36×02 P(B) 0.458 =0.15 (3)利用贝叶斯公式,被击落的飞机是只被甲击中的概率为 P(FSTIB)= P(FST)P(BIFST)=P(F)P( S)P(T)P(BIF ST) 0.4x0.5×0.3×0.2 =0.0262 0.458 【例1-17设P(A)=a,P(B)=0.3,P(AUB)=0.7。试问 (1)若事件A与事件B互不相容,则a应取何值? (2)若事件A与事件B相互独立,则a应取何值? 解:出概率的加法定理和概率的包含可减性知 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-[P(B)-P(AB) 1-P(A)+ P(AB) 由此可得 0.7=1-a+P(AB) (1)若A与B互不相容,则AB=∮,P(AB)=0,代人上式得a=0.3。 (2)若A与B相互独立,则有P(AB)=P(A)P(B)代人式(1-1)右端,可得 0.71-a+0.3c 于是解得a=÷。 注事件的“互不相容”和“相互独立”是两个容易混淆的概念。“事件A与事件B互不相容”是指:A与B
不能同时发生,即AB=∮。而“事件A与事件B相互独立”是指:一事件发生与否,并不影响另一事件发生的 概率,即P(AIB)=P(A)[或P(B|A)=P(B)],因此,这两个概念在内涵上是有严格区别的a 1.6.2古典概型(等可能概型) 等可能概型也称为古典概型,它在概率论发展初期曾是主要的研究对象。 (1)定义。若随机试验E具有以下特点: 1)试验的样本空间2只有有限个(n个)元素; 2)试验中每个基本事件发生的可能性相同。 则称试验是等可能概型,也称为古典概型。 (2)古典概型的特点就是具备有限性和等可能性。 (3)若a为试验E的样本空间,A为E的事件且包含m个基本事件,则事件A的概率P (A)为P(A)=m/n=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数。 【例1-18】考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两 次先后出现的点数,求该方程有实根的概率P和有重根的概率q。 解:这是古典概型问题。将一枚骰子掷两次,用〔i,j表示“掷第一次骰子出现i点,掷第 二次骰子出现j点”,=1,2,…,6。显然,样本空间所包含的基本事件总数为36。方程有实 根的充分必要条件是B2≥4C,或C≤B2/4。 衰1-6 例1-18的表 5 使C≤B2/4的基本事件个数 4 6 使C=B2/4的基本事件个数 由表1-6可见,“使方程有实根这一事件所包含的基本事件的个数为1+2+4+6+6= 19,因此p=19 方程有重根的充分必要条件是B2=4C,或C=B2/4,满足此条件的基本事件共有2个,故 21 36 16.3一维陂机文量的分布和教字特征 1.6.3.1隨机变量 163.11随机变量及其分布函数 (1)随机变量 1)对于随机试验的每一个可能的结果a实变量X都有唯一确定的值x(a)与之对应,称 X为(一维)随机变量。随机变量常用大写字母X,Y,Z等表示也常用希腊字母,等表示 2)随机变量依一定的概率取值,设D表示实数轴上的一个数集,则“X∈D”表示一个随机 事件。 (2)分布函数。定义:事件“X≤x”的概率与x有关,将它作为x的函数,即 PX≤x}=F(x),( 称为随机变量X的分布函数。 (3)分布函数的性质 1)0≤F(x)≤1
2)对于任意x1<x2,有F(x1)≤F(x2); 3)lim F(x)=0, lim F(x)=l: <X≤ F(x2)-F(x1); 5)右连续F(x0+0)=limF(x)=F(xo)。 163,12离散型随机变量 (1)定义:若随机变量X的全部可能取到的值为有限个或可数个,则称X为离散型随机变 量,它的全部可能取的值可用一个数列{x(有限的或无限的)表示。 (2)离散型随机变量的分布律: 1)P{X=xk=p4(k=0,1,2,…或k=1,2,…)称为随机变量X的分布律。 2)X的分布律常用一个含k的公式表示,例如:事件A在一次试验中发生的概率为p,重 复独立进行n次试验,X表示事件A发生的次数,则 PX=k=Cpq(q=1-p,k=0,1,2,…,n) 此种分布律称为x服从二项分布,可简记为 X-B(n, p 3)X的分布律也常用x4与P4的对应表给出,见表1-7。 衰1-7 X的分布律 P1X=*I (3)离散型随机变量的分布函数 F(x)=P!X≤x}=∑P 注p1+P2+…+Pa+…=1。 6.313连续型随机变量 (1)定义:设X是随机变量它的分布函数为F(x)=PX≤x,若存在一非负函数f(x), 使对于任意实数x都有 F(=)= f(e)de 则称X为连续型随机变量,并称∫(x)为随机变量X的概率密度(或称分布密度或密度函数)。 (2)概率密度函数f(x)的性质 1)f(x)≥0; 2)f(x)dx=1 3)Pla< x< bl= F(6)-F(a)=f(x)dx; f(t)d是x的连续函数在f(x)的连续点处:F(x)=f(x) (3)对连续型随机变量X而言,对于任意值c,概率P{X=c=0,但事件{x=c}并不是不 可能事件。 16.3,14随机变量函数的分布 设X是随机变量,y是X的函数Y=(x),则y也是随机变量。这里只讨论函数p(t)连