13622平面薄片的质量、重心及转动惯量 设平面薄片占有x0y面上的区域D,薄片在D上任一点P(x,y)处的面密度为r(x,y), 则薄片的质量为 (x, y)de 薄片重心的坐标为 M 1 薄片关于x轴、y轴的转动惯量为 lx u(x,y A(r, y)do 14无穷级数 14.1款项数 1411常数项级数概念及性质 (1)定义:由数列un所构成的表达式∑un=u1+u2+…+n+…称为(常数项)无穷 级数简称常数项级数。n称为一般项或通项;sn=u1+a2+…+un称为前n项部分和,即 Lk,un=S,+1-S, (2)级数收敛的必要条件若级数∑an收敛,则 lim u=0 (3)常数项级数的性质 1)若 =S,则∑kun=k∑un=kS(k为常数) 2)若∑un=S T则∑(a±2)5 Un=S±T 3)收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和; 4)在级数中改变有限项不影响其收敛性; 5)若级数∑u收敛,则 lim u=0;反之,不一定成立。 (4)常用级数。 1)等比级数(几何)∑a当q<1时收敛当1ql≥1时发散。 2)p级数∑J当p1时收敛,当p≤l1时发散。当p=1时,∑n又称调和级数。 【例1-8】判断下列级数的收敛性: 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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(1) 2n+1 ;(2) n-3a;(3) 解:(1)发散,因为iman=imn1=1≠0 (2)发散因为lin (3)发散,但lim1=0 14,12常数项级数的审敢法 14.1.2.1正项级数判别法 若级数∑wn,其中n≥0(n=1,2,…),则称级数∑un为正项级数。正项级数收敛的 充要条件是其部分和数列有上界。 比较判别法:设两个正项级数∑a和∑b满足an≤b、(n=1,2,…),那么有: (1)若∑b收敛,则∑a收斂; (2)石发散则∑b发散。 【例1-9】判别下列级数敛散性 (1) n1√4n2+n sin2 nr (2) (3)∑ln 解:(1)由于 1.1 发散,∴原级数发散 (2)由于 se3n2,而∑1收敛,;原级数收斂。 比较判别法的极限形式: 如 λ,则有0<λ<+如时 和∑vn同时收敛,同时发散 (3)∵lim :-1-=1又∑1发散,;原级数发散。 【例1-10】(1)∑ 7+1+4分:(2)∑(1-c1):()∑sp 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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解:(1)由lim 发散,∴原级数发散。 w CoS (2)lim lim 2 n2 1 ∑收敛∴原级数收敛。 >1(n≥3) 1发散, In 发散 1.4,122任意项级数收敛性的判别法 (1)对任意项级数有绝对收敛准则:如∑1un|收敛,则∑绝对收敛;如 发散,∑n收敛则称∑un条件收敛。 (2)交错级数的敛散性的判别法:如果an>0,则称∑(-1)1un=a1-2+l3-4+ 为交错级数。 菜伯尼兹判别法:如交错级数∑(-1)4n满足:(I)an≥Ln+1(n=1,2,…),(Ⅱ)limn un=0,则称级数∑(-1)”an收斂,且有余项Irn≤Ln+1(n=1,2,…)。 (3)设∑u为任意项级数,若lm“:=(或lmun1=),则当1<1时级数绝对 收敛;l>1或l=+∞时级数发散;l=1时级数可能收敛也可能发散。 14.2幕教 142.1定义 级数∑anx-x0)称为幂级数,当x=0时,可写为更简单的形式 14.22收敢性(阿贝尔定理} 如果幕级数∑ax当x=x(x0≠0)收敛则适合不等式|x1<1x01的一切x使幂级数 anx"绝对收斂;如果幕级数∑anx当x=x0时发散,则适合不等式|x|>1xl的一切x使 幂级数∑a2发散 14.23幂级数的收敛半径及其求法 若冪级数∑a在某些点收敛,在某些点发散,则必存在唯一的正数R,使当!xl<R 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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时,级数绝对收敛,当!x!>R时,级数发散。这个R称为幂级数的收敛半径;若幂级数只在x 0处收敛,则规定收敛半径R=0;若幂级数对一切x都收敛,则规定收敛半径R=+∞。 对幂级数∑anx,若im =p(或im√an=p)则其收敛半径 1,当a≠0时 P R +∞,当p=0时 0,当p=+∞时 14.24幂级数的性质 若幂级数∑anx2的收敛半径为R,则称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间;根据幂级 数在x=±R处的收敛情况,可以决定幂级数的收敛域(即收敛点的全体)是四个区间:(-R, R)、[-R,R)、(-R,R]、[R,R]之 幂级数具有以下性质 (1)幂级数△anx"的和函数在其收敛域上连续 (2)级数∑ax的和函数在其收敛区间内可导,且有逐项求导、逐项积分公式 S'(x)= a cnt s(x)dx=(∑ax)dx=5 n=0 逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 【例1-11求下列幂级数的收敛域: (1)∑(-1) 3 x 解:(1)lim 3”1√n n+!3=3故R= 当x3.原级数为(D)为交错级数满足 un=0∴收敛 原级数为 ∑发散 收敛域为 (2)由于lim√1an=lim1=0∴R=+∞ n→ 故收敛域为(
1.4.3泰勒蜓数 14.3.1泰勒级数的概念 若x2在点xo处具有各阶导数则级数∑/"(x0)(x-x)”称为函数f()在点 xo处的泰勒级数特别当x0=0时,级数∑立f(0)x”称为函数f(x)的麦克劳林级数 143.2函数展开成泰勒级数的条件 设函数f(x)在点x的某邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒 级数[即f(x)的泰勒级数收敛于f(x)本身]的充要条件是∫(x)的泰勒公式中的余项 n+1) R, (x) (x-x0)1→0(n→∞) 其中=x0+6(x-x0),0<0<1,将函数展开成泰勒级数,就是用幂级数表示函数 1.4.33常用函数的幂级数展开式 (1)e=1+x+}x2+…+1;x2+…(-∞<x<+∞) 2a+1 (2)sinz=x-12 3!5x+…+(-1) (-∞<x<+∞) (3)06x=1-2!x+4! (2n)! +…(-∞<x<+∞) (4)ln(1+x)=x1x+3x+“+(-1)1x+1+…(-1<x≤1) (g-1) (5)(1+x)“=1+mx+ A-n x”+…(-1<x<1) 当 1 时,有 1-1x+1x32-1×3x53,1×3×5×74-…(-1<x≤1) 2×4×6 4x6 d+x +(-1)"x (-1<x<1) 1.4.4僖立叶级数 144.1傅立叶级数概念 14.4.1.1傅立叶系数和傅立叶级数 没八(x)在区间[一x,x上有定义,则三角级数2+∑(a,9nx+b,nmx)称为f(x)在 区间[-r,π]上以2x为周期的傅立叶级数,其中 f(x)cosnxdx (n=0, 1, 2, . f(x)sinned 叫做函数f(x)的傅立叶系数。 1,4.4.1.2收敛定理(狄利克雷条件) 设∫(x)在区间[-,]上以2x为周期的傅立叶级数,如果它满足条件:①在一个周期内 连续,或只有有限个第一类间断点;②在一个周期内至多只有有限个极值点