x,y)da=f(3,y)a,a是D的面积。 4)D可分解为两个互不重叠的区域D1与D2,则 x,y)dσ f(x, do 5)对任意的(xy)∈D,f(x,y)≤g(x,y),则f(x,y)d≤‖g(x,y)d。 6)设M、m分别是f(x,y)在D上的最大值最小值,d是D的面积,则 f(x,y) (5)二重积分的计算法。 1)直角坐标下的计算法。在直角坐标下,二重积分可表示为 f(x, y)do =f(x, y)dxdyo 若积分区域D(图1-1)可表示成 D=(x,y)1q1(x)≤y≤g2(x),x∈[a,b]} 则二重积分可化成先对y后对x的二次积分,即 f(x, y)dxdy f(x,y)dy」dx或f(x,y)dxdy 男xy1(x,y)d 若积分区域D(图1-2)可表示成 D=(x,y)(y)≤x≤2(y),y∈[e,d] 则二重积分可化成先对x后对y的二次积分,即 f(x,y)dxdy =2(x) 图1-1以x为变量的积分区域 图1-2以y为变量的积分区域 2)在极坐标下计算方法。 直角坐标和极坐标的关系x=pco9,y=psin,则 【例1-5计算二重积分(x2+y2)du,其中D由曲线y=x2直线x=1及本轴所围 成 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com/
解:首先画出积分区域D )d y x=113.42三重积分 定义:设函数f(x,y,z)在有界闭区域a上有界,与二重积分的 定义类似的有f(x,y,z)在日上的三重积分的定义,即 图1-3积分区域D f(x,y,z)dn=lim>f(安,界,)△n1 若f(x,y,x)表示某物体在点(x,y,z)处的密度,表示该物体占有的空间闭区域,则三重积 分(x,y,)就表示该物体的质量M,即M=(x,:)n 三重积分具有与二重积分类似的性质。 1.3.5平面曲积分 135,1对弧长的曲线积分 1.3.511定义 设L为平面内一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上有界,将L任意划分成n个小段,第i个小 段的长度为△s,(5,n)为第i小段上任一点,A=max△s1,…,△sn,若极限 im∑f(e,n)△s 总存在,则称此极限为∫(x,y)在L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作 ∫(x,y)ds,即∫(x,y)ds=lim∑f(,7)△s,。 若一曲线形构件L在点(x,y)处的线密度为p(x,y),则曲线积分(x,y)ds就表示此 构件的质量M,即M=(x,y)ds。 当L为闭合曲线时曲线积分记为中,f(x,y) 1.35,12性质 ()0x,y8(xy)d:=(x,y)+(x,)d (2)(x,y)ds=k,f(x,y)ds(k为常数) 3).f(x,y)ds=Lf(x,y)ds+Lf(x,y)ds (L= L,+L2) 135.2对坐标的曲线积分 13521定义 设L为平面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧,P(x,y)、Q(x,y)在L上有界将L 任意分成n个有向小弧段M1-1M,(i=1,2,…,n;M0=A,M=B),△x=其-1-1,△y,=y1- y;-1。任取(;,n)∈M4-1M,记A=max{△s1,…,△sn},若极限 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com/
i∑P(:,n)x 总存在,则称此极限为P(xy)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作P(x,y)dx,即 P(x,y)dx=lim∑P(,n)△ 类似地定义Q(x,y)在有向曲线弧L上对y的曲线积分Q(x,y)dy,即 Q(x, y)dy Q(,n)△y 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分,P(x,y)dx+Q(x,y)dy通常写成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy 若某质点沿有向曲线弧L移动受变力F={P(x,y),Q(x,y)作用,则变力作的功为 P(a, y)dx +Q(*, y)dy 1.35.22性质 (1)Pdx+Qdy =L Pdx+Qdy+ Pdx+Qdy (L=L+L2) (2)P(*,y)dx = P(x, y)dx Q(x, y)dy =-.Q(x,y)d 其中Lˉ表示与L反向的有向曲线弧。 13523计算方法 (1)设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为x=x(1),y=y(t),其 中函数x(t)y(t)具有一阶连续导数。当参数单调地由a变到P时,对应的动点(x,y)从L 的起点A运动到终点B,则 P(x,y)dx+Q(x,y)ldy={Px(t),y(t)lx'(t)+QLx(t),y(t)]y()dt 其中a对应起点A,B对应终点B,a不一定小于B。 (2)设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的方程为y=y(x),且y(x)具有连续 导数。当x单调地由a变到b时对应的动点(x,y)从L的起点A运动到终点B,则 P(x,y)+0(xy)hy-P,y(2)+0x,(x)(x)d (3)设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的方程为x=x(y),且x(y)具有连续 导数。当y单调地由c变到d时对应的动点(x,y)从L的起点A运动到终点B,则 P(x,y)dx+Q(=,y)dy=IP[x(y),yr'(y)]+Q[x(y),ylldy 【例1-6】∮xds,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所图成的区域的整个边界,计 算它对弧长的曲线积分。 解 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com/
x2(0≤x≤1),L2:y=x(0≤x≤1) d d 2 (2x)dx+|x√1+1ad x十 31(1+42 图1-4由曲线11和12 组成的区域 1255+62-1) 【例1-7】计算下列对坐标的曲线积分 (1)计算|ydx,其中c是由直线x=0,y=0,x=2,y=4所围成的正向矩形回路(图 5); (2)计算|ydx+ sindy,其中c为y=smx,(≤x≤x)与x轴所围的闭曲线依顺时针方 向(图1-6)。 解:(1)如图1-5所示 ydx+ ydx+ ydx d 0+0+|4dx+0=-8 2 图1-5曲线 图1-6曲线 (2)如图1-6所示 rdx sindy o (sinz sinxeos x )dx+ dx=2 1.3.6和分应用 136.1定积分应用 13.6.1.1几何应用 136111平面图形面积 (1)直角坐标 [f2(x)-∫1(x)] 6 fi(x)<f2(r) [g2(y)-g1(y)]d d ily)<2(y) 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com/
(2)极坐标。平面图形由曲线p=g(0)及射线6=a,0=B所围成,则其面积 13,6,1.1,2体积 (1)旋转体体积。由y=0,y=f(x),x=a,x=b所围平面图形绕x轴旋转一周所生成的 立体体积 V, nf(x)dx 由x=9(y),x=0,y=c,y=d所围平面图形绕y旋转一周所得旋转体体积 (2)平行截面面积为已知的立体的体积。设立体由曲面及平面x=a,x=b所围成,过点 x且垂直于x轴的截面面积为A(x),则其体积为v=A(x)dx。 1.3.6113平面曲线的弧长 直角坐标,设曲线的方程为y=f(x)(a≤x≤b),f(x)在[a,b]上具有一阶连续导数,则 其弧长 s=√1+y2dx 13.6.12物理应用 (1)变力沿直线所作的功。设物体受变力F(x)的作用,沿轴由点a运动到点b,力F的方 向同x轴的正向,则力F所作的功为 W= F(x)d: (2)液体的侧压力 P=pg f(x)d 式中P一液体对薄板侧面的压力 p液体的密度; 重力加速度 薄板铅直插入液体中(图1-7)。薄板baAB的曲边为AB,其方程为y=f(x),p={gx表 示微元所在处板所受的压强,f(x)d(x)表示微元的面积。因此被积式gyf(x)dx表示徽元所 受的侧压力dP,定积分gx(x)dx就是薄板ABCD所受的液体的侧压力。 在解实际问题时先画出示意图,一般用微元法先求出dP0 的表达式,后写出P的定积分表达式。 1.36.2二量积分的应用 13621曲面的面积 x+dzkzzzzAy=f() 设曲面E的方程为z=f(x,y)2在xOy面上的投彩区域 为D,八(x,y)在D上具有一阶连续偏导数则曲面Σ的面积 dxdy 图1-7示意图 电缆情缘欢迎你 ④ http://ahwwwsb.b.co.163.com
电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com/