1.2.7.1.4最大值、最小值问题 设f(x)在闭区间[a,b]上连续,除个别点外处处可导且至多在有限个点处导数为零,则 求∫(x)在[a,b]上的最大值与最小值的一般方法 设f(x)在(a,b)内的驻点及不可导点为x1,…,xn,则比较f(a),f(x1),…,f(xn),f(b)的 大小,其中最大的便是最大值,最小的便是最小值 t.272微分的应用 由微分的定义可知,当∫'(x)≠0且|△x很小时,有 ∫(xo+△x)-∫(xo)≈f'(x0)△ 从而 ∫(xo+Δx)≈∫(xo)+∫'(xo)△x 于是可得几个工程上常用的近似公式(假定|x1比较小) inx≈x(x用弧度作单位) tanx as x(x用弧度作单位) hn(1+x)≈x 1.3积分学 1.3.1不定积分 1311不定积分的定义 若f(x)为连续函数及F'(x)=f(x),则f(x)dx=F(x)+C(C为任意数,则常数)称 F(x)为f(x)的一个原函数,F(x)+C为f(x)的全体原函数,|(x)dx为f(x)的不定积分。 记为x2甲rx)dx=r(x)+C。 1312不定积积分性质 (1)[f(x)dxy=f(x)或八(x)dx=f(x)dx; (2)F()dx= F(x)+C: ()x)tg)Jax=xx+」(x)x 13.1.3计算方法 (1)第一类换元法(凑微分法) (2)(:run., 常用凑微分形式 d kx= kd d(* + c)=dx dx s dex dx e dInx cosx〓ds1n 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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dx=d√x dx= dta dx= dv1 dcos"x (2)第二类换元法 (x)d()()].,其中-x)是x=()的反函数,且中)≠ 当被积函数中含有二次根式 a2-x2,令x= aint;含有√a2+x2,令x= atan t;含有√x2-a2,令x=aset 如是√ax 则配方得√ 3)分部积分 〈定理》如u(x)、υ(x)均具有连续的导函数,则 4.基本积分表 (1)kdx=kx+C(k悬常数);(2)|x"dx=x 1) dx x +Ci arcsinx+C; (6)cosxdx sinx+C (7) sinzdx=-coBx+C;(8 =secdx tanx +C: Cos x dx sin2x-jcsc'rdx=- cotx+C: (10) secxtanxdx =secx+C 1]cd660)d-s+c; (1)a dx=Ina+C: (14) shxdx =chx+C (15)chad= shx+ C: (16Itanxdx-InIcosxI+C (17) cotxdx=In I sinx|+C 【例1-4】求下列积分 3-2 解:(1)3-2x d(3-2x) 2In13-2x i+c x〓 dIna〓 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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(3)x sint, dx costa √1-x2dx= sin 't ostd a ot'tdt =(csc2t-1)dt =-cot:(+C arcsinx t c 1.3.2定积分 1.3,2,1定义 定积分的定义(x)dx=im∑(t)x,=mx△x 注(1)积分区间有限,被积函数有界; (2)与“分法”、“取法”无关 (3)定积分的值与积分变量的选取无关f(x)dx=|f()drl; (4)f(x)在[a,b]有界是f(x)在[a,b]可积的必要条件,f(x)在[a,b]连续是f(x)在 [a,b]可积的充分条件。 几何意义:f(x)dx在几何上表示介于y=0,y=f(x),x=a,x=b之间各部分面积的代 数和。 补充规定f(x)dx=0(当a=b);f(x)dx f(x)dx(当a>b)。 1322性质 (1)r(x)±g(x)]dx=)f(x)x±|8(x)dx; (2)6(x)dx=kf(x)dx(k为常数); (3)f(x)dx f(x)dx+f(x)dx: (4)dx=b-a; )若在区间[a,6]上,(x)≤8(x)则(x)x≤(x)d(a<b); 门b (6)f(x)dx≤f(x)dx; (7)估计定理:在a,b],m≤f(x)≤M,则m(b-a)≤|f(x)dx≤M(b-a (8)中值定理:如八(x)在[a,b连续3∈[a,b],使f(x)dx=f()(b-a) 13.23计算方法 (1)变上限积分。 基本定理:设f(x)在[a6]连续,x为(a,b)上任意一点则(x)=f(t)d是可导函 数,且φ'(x)=∫(x)。 即f(t)dt=f(x)说明|f(t)dt为f(x)的一个原函数。 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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(2)牛顿莱伯尼兹公式。设函数f(x)在[a,b]连续,又若F(x)为f(x)在[a,b]上的任意 个原函数则有f(x)dx=F(x)1=F(b)-F(a)。 (3)换元法。设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,函数g(t)及其导数g'(t)都在闭区间[a, ]连续,其中a=g(a),b=g(月),复合函数fg(t)在闭区间[a,B]连续,则 x )dx o(t)I (t)di (4)分部积分法 u(xv(x)dx =u(x)v(x) v(x)u(x)dx 132.4奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质 (1)J(x)在[-a,a]连续,(a>0),当(x)为偶数则f(x)dx=2((x)dx;当f(x)为 奇函数,则!f(x)dx=0。 f(x)dx=」0(x)dx,/(x)以为周期说明在任何长度为r的区间上的积分值 是相等的。 13.3广义积分 13.3,1无限区间上的积分 (1)定义:设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续,极限Iim|f(x)dx(a<b)存在称此极 限值为f(x)在区间[a,+∞)上的广义积分,记作 f(x)dx= lim f(x)dx(a< 6) 此时称广义积分)f(x)dx收敛若limn|f(x)dx不存在,则称f(x)dx发散。 类似的,定义f(x)dx=imf(x)dx f(x)d f(x)d f(x)d (2)计算方法设F(x)函数f(x)的一个原函数则 f(x)d F(x-F(a)= F(x)I+ f(rdx F(b)-lim F(x)= F(x)16 f(x)dx lim F(x)-lim F(x)= F(x)1+8 13.32无界函数的积分 (1)定义。设函数f(x)在区间(a,b上连续当x→a·时,如果f(x)dx(e>0)存 在称此极限值为无界函数f(x)在区间[a,b]上的广义积分,记作 电缆情缘欢迎你 ◇ http://ahwwwsb.b.co.163.com
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f(x)dx= lim f(x)dx(e>0) 此时称广义积分f(x)dx收敛,若lmnf(x)dx(e>0)不存在,则称f(x)dx发散。 (2)计算方法。设F(x)函数∫(x)的一个原函数,则 1)当∫(x)在区间(a,b]上连续,limf(x)=∞时 x)dx= F(6)-lim F(x)= F(x) 2)当f(x)在区间[a,b)上连续,且limf(x)=∞时 f(x)dx lim F(x)-F(a)= F(x)1b 3)当f(x)在区间[a,c)∪(c,b]上连续,且limf(x)=∞时 f(x)dx= F(b)-lim F(x)+lim F(x)-F(a)= F(x)1-F(x)I 1.3.4重积分 13.4.1二重积分 (1)定义。设函数f(x,y)在有界闭区域D上有定义。 分割:用任意两组曲线将区域D分成n个小区域,分别记为△d1,△2,…,△n,并以△ 代表第i个小区域的面积。 求和:在每个小区域△G上任取一点(x,y)作乘积f(x,y:)△可,并求和 f(x;,y)△ 求极限:记λ为n个小区域△a:,△2,…,△an的最大的直径,如果 a,y 存在,且此极限值不依赖区域D的分法,也不依赖于点(x,%)的取法,则称此极限值为函数 f(x,y)在区域D上的二重积分,记为 ,A(Sr,r) 称do为面积元素。 (2)存在性。若函数f(x,y)在闭区域D上连续,则f(x,y)在D上的二重积分必存在。 (3)几何意义。f(x,y)≥0,(x,y)∈D,则f(x,y)d表示以x=(x,y)为顶,以D为 底的曲顶柱体体积。 (4)性质 1)f(x,y),g(x,y)都在有界闭区域D上可积,则 af(x, y)+Bg(x, y)do= a lf(x,y)do+9g(x,y)da 2)d表示平面区域D的面积。 3)f(x,y)在有界闭区域D上连续则存在(5,y)∈D,使 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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