指包含在定义域内的区间。 1.223闭区间上连函数的性质 设f(x)在闭区间[a,b]上连续上连续,则 (1)f(x)在[a,b]上有界(有界性定理); (2)f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值(最大值最小值定理) (3)当f(a)√f(b)<0时,在(a,b)内至少有一点使得f()=0(零点定理); (4)对介于f(a)=A及八(b)=B之间的任一数值C,在(a,b)内至少有一点,使得f() =C(介值定理)。 xs』n 【例1-2】讨论函数f(x)={0 x=0在x=0处的连续性 SInr x>0 解:∫(x)的定义域为(-∞,+∞)im/(x)=lmxn1=0 lim f(x)= lim-sinx 由于f(x)在x=0点处的左右极限不相等,故极限不存在因此函数∫(x)在x=0点间 由于f(0)=0,所以f(x)在x=0点左连续,它的连续区间应为(-∞,0],(0,+∞)。 1.2.3导数 1.23.1导数的概念 设函数y=f(x)在x点及其某个邻域内有定义,对应于自变量x在x0的改变量△x=xo x,函数y=(x)相应的改变量△y=f(x+△x)-/(xn)如果当△x-0时,极限im2= lmf(x0+△x)山什在,则称此极限值为函数r=f(x)在xo点处的导数。记作y1… 或21,或∫"(x) 左导数f(x0)=lim f(x0+△x)-f(x0) △r0 右导数f(x0)=lin ∫(x0+△x)-f(xo) △x=0 f'(x0)存在的充要条件∫(x0)√f,(x)存在且相等。 函数在和处连续是可导的必要条件,但不是充分条件,即∫(x)在x可导,则∫(x)在x 必连续,反之不然。 1232导數数的几何意义 函数y=f(x)在x0点的导数∫'(xo),在几何上表示曲线y=f(x)在点[xo,f(x)]处的切 线的斜率。 1233求导法则 (1)导数的四则运算。设u=a(x)、=t(x)均可导,则 1)(u±t)’=u'±t 2)(Ca)=Cx'(C是常数) 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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3)(uu)′=d't+t l (2)反函数求导法则。若x=q(y)在区间,内单调、可导且(y)≠0,则它的反函数y =f(x)在对应的区间l,内也可导,且 ay=8k y f'(x) (3)复合函数求导法则。设y=f(u)、u=g(x)均可导,则复合函数y=fg(x)]也可导 且 dy=江y或y(x)=∫'(u)g'(x) dx dud (4)隐含数求导法则。设方程F(x,y)=0确定一个隐函数y=y(x),F、F,连续且F≠ 0,则隐函数y=y(x)可导,且 F 注关于记号F、F参阅偏导数概念及其求法 1234求导基本公式 (2)(x)=cx-; (3)(sinx)'= cosxi cosx)=-sInx; (5)(tanx)’=ec2x (6)(cotx)’=-c8c2x; (7)(secx)'= sextans; (8)( cscs)=-cscxcotx: (9)(a2)'=alna (10)(e")'=e (11)(logx)= Ina (12)(lnx)'=-; (13)(arc)' (14)( arccos x)'=- √ (15)( arctan)=,1, (16)(arcx)=-1+x° 123.5高阶导數 定义:若函数y=f(x)的导函数y'=f'(x)仍可导,则y=f'(x)的导数叫做函数 y=f(x)的二阶导数记作或y"或3或f"(x) 1.2,4微分 124.1微分的定义 设函数y=f(x)在某区间正内有定义,x0∈I,x+△x∈l,若函数的增量 Δy=∫(xo+△x)-f(x)=AΔx+o(△x) 其中A是不依赖于Δx的常数则称y=f(x)在点x可微分,A△x叫做y=f(x)在点x相应 于自变量增量△x的微分,记作dy,即 y=A△x 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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函数y=f(x)在点x的微分称为函数y=f(x)的微分,记作dy或df(x) 12.42函数可微分的充要条件 函数y=f(x)在点x0可微分的充要条件是f(x)在点x可导,且当f(x)在点x0可导时, 其微分一定是dy=f(x)△x。函数的微分是dy=f(x)△x 通常把△x称为自变量的微分,记作dx,即dx=△x。于是函数的微分可写成dy=f'(x) dx。而导数可写成2=f(x)。即导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx之商。 124.3微分法则 (1)微分的四则运算。设函数=u(x)、t=v(x)均可微,则 du±d d(uv)=vdu +udv d(2) du-udv (2)复合函数的微分法则。设y=f(a)、“=(x)均可微,则y=fg(x)]也可微,且 f(u)du=f'(u)o'(x)d: 12.4.4基本微分公式 (1)d(x")=px"dx (2)d(sinx )=cosxdx (3)d(cosx)=-sinxdx (4)d(tanx)=sec2xdx (5)d(cotx)=-cscxdx; (6)d( secx)=secx.tanxdx (7)d(cscx)=-cscx cotx dx (8d(a=a'lnadx (9)de)=edx (10)d(log x) 1 dxi xn在 (1)(mx)=1dx (12)d(arcsinx) (13)d(arccos) d (14)d(arctan)=-1 (15)d(arccot)= 1.2.5偏导数 1.2.5.1定义 函数:=f(x,y)对xy的偏导数依次记作[或(x,y),9或f(x,y)],它们的定义 如下 f(x+△x,y)-f(x,y) Ox△x-0 az △y)-f( ay 4+ 类似地,可以定义三元函数∫(x,y,2)的偏导数f(x,y,z)√f,(x,y,z)√f1(x y,z)等 125.2多元复合函数的求导法则 设u=φ(x,y),"=ψ(x,y)均具有偏导数,而z=f(u,v)有连续偏导数,则复合函数 z=∫(x,y),中x,y)]的偏导数存在,且 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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az az au az av az az au az du ax aux atax ay auay avay 特别当a=9(x)b=(x),;=f(u,)时,则复合函数=八p(x),收(x)1有全费y az du az du audxavdx 12.5.3隐函数的求导法则 设方程F(x,y,z)=0确定一个隐函数z=f(x,y),函数F(x,y,x)具有连续偏导数且F 则有 F a 【例1-3】求函数z=ln y2的一阶偏导数。 解:z=mn√x2+y2=n( ar 1 2x x 0z12 1.2.6全微分 126,1全微分的概念 若函数z=f(x,y)的全增量 △z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(p) 其中A、B仅与x,y有关而p=√(△x)2+(△y)2,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 分,并称A△x+B△y为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dz=A△x+B△y。 126.2函数可微分的条件 若函数:=(x,y)在点(x,y)可微分,则偏导数、9必定存在且全微分 az x十 函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数 习惯上,记△x=dx,△y=dy,故 dx 1.27导數与微分的虚用 1271导数的应用 127,1.1中值定理 1.罗尔定理 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则至少有 点∈(a,b)使得∫'()=0 2.拉格朗日中值定理 若函数∫(x)在闭区间[a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则至少有一点∈(a,b),使 得式(1-1)成立 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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f(b)-f(a)=f'()(b-a) (1-1) 127.12求未定式的值的方法——罗必塔法则 (1)未定式以与的情形。关于的情形设 1)当x→-a(或x→∞)时,f(x)→*0且F(x)→0; 2)在点a的某去心邻域内(或当x1>N时),f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0; 3)1imF(x存在(或为无穷大,则 lim f'(x) 若1mP(x)仍属0型,且f(x、F'(x)满足上述三个条件,则可继续使用罗必塔法则 即 f(x) lim f'(x) 2,F(x) F'(x) x (2)其他形式的未定式的情形。其他尚有0·∞、∞-∞、00、1。、∞°型的未定式,它们均可 通过变形化成。或②的情形,如0·四型可变形成或,∞-∞型通过通分,0、1“、如°通过 取对数变形。 12.71,3函数性态的判别 (1)函数单调性的判定:利用一阶导数的符号判定见表1-1。 1-1一阶导败的符号判定函数单调性 表1-2 阶导数判定函数极值 区间 区间 x左侧 x右恻 f'(x) f"(x) 极小值 f(x) 极大值 (2)函数极值的判定:利用一阶导数判定见表1-2所示;利用二阶导数判定见表1-3 (3)曲线凹凸及其拐点的判定:利用二阶导数的符号判定曲线的凹凸见表1-4 阶导效判定函数极值 表1-4二阶导数的符号判定曲线的凹凸 xo 区间 区间l f'(x) /(x) P(x) 极大值 极小值 y=∫(x)的图形 凸 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点。如果f"(x)=0,而f"(x) 在x0的左右两侧邻近异号,则点[x0,f(x0)]就是一个拐点 (4)曲线的渐近线。若lmf(x)=y0,则曲线y=f(x)有水平渐进线y=yo; 若lmf(x)=∞,则曲线y=f(x)有铅直渐近线x=x 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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