(7)两个向量平行或垂直的充分必要条件 a⊥b台a·b=0 a∥bea=kb或d∥ be x b=0 1.1.13向量的坐标衰达式 将向量的始点移到空间直角坐标系的原点O,设向量的终点为M(x,y,z),且0x轴、Oy、 0z轴正方向上的单位向量依次为i,,k,则OM=x+y+,或记为OM=(x,y,z),称上述 两种表达式为向量OM的坐标表达式。 1.1.2平面 11.2.1平面的方程 (1)平面的点法式方程:垂直于平面的非零向量n=(A,B,C)为平面的法向量。过点(x y,o)以n为法方向的平面方程为A(x-x)+B(y-y0)+C(z-)=0 (2)平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0,法方向:n=(A,B,C)。 (3)平面的截距式方程 3,y2 式中a,b,c—分别为平面的x截距,y截距,z截距 1.122特殊的平面方程 (1)Ax+By+Cz=0表示过原点的平面方程; (2)Ax+By+D=0表示平行于0z轴的平面方程; (3)Ax+B=0表示过0x轴的平面方程; (4)Cz+D=0表示平行于坐标平面0xy的平面方程,其余可以此类推。 1.123两平面的关系 平面:A1x+B1y+C1z+D1=0,法方向n1=(A1,B1,C1); 平面m2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法方向n=(A2,B2,C2)。 (1)相互垂直的充要条件:兀1⊥π白n1⊥n2,即A1A2+B1B2+C1C2=0 = (2)相互平行的充要条件:丌1∥x2en1∥n2,即== A2 3)重合的充要条件:r1与x2重合台 A B Cu D A2"B2"C2"D 系数不满足以上条件时,两平面斜交。 (4)平面元1和n2的夹角满足c=1"2 A1A2+B, 82+ Ci c ln11n√+B+C√品+B+日 1124点到平面的距高 点(x,y1,z1)到平面Ax+B+C+D=0的距离为d= I Ax1+ By +Cz,+DI A2+B2+C 1.1.3直蜕 113.1直线的方程 如果非零向量l=(a,b,c)平行于一已知直线则称为直线的方向向量。 (1)直线的标准式(点向式或对称式)方程: 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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过点(x0,y0,40)以[为方向向量的直线方程是0=y20=2-20。 (2)参数式方程由标准方程化为参数方程得y=y+b 2=20 (3)一般式方程:两平面的交线为一直线,即直线的一般方程为 ∫Ax+B1y+C1z+D1=0 A2x +B2y+ C2z+D2=0 方向向量=n1xn2,其中n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2)。 (4)两点式方程过点M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,2)的直线方程为 y-y 1132直线与直线的关系 (1)相互平行的充要条件:1∥l2ei1∥l2,即2如.分(a2,b2,c2) 直线l1的方向向量l1=(a1,b1,c1);直线l2的方向向量l2 (2)相互垂直的充要条件:l1⊥l2l1⊥2,即a1a2+b1b2+c12=0。系数不满足以上条 件时,两直线斜交 (3)两直线的夹角0满足:=、a1a2+bb2+a1c2 √a+b+√a+的+a 1133直线与平面的位置关系 直线l1的方向向量l1=(a1,b1,c1),平面π1的A1x+B1y+C1z+D1=0,法方向n1 (A1,B1,C1)。 (1)直线与平面的夹角满足:sin0= IA,a1+B,61+ C1C1 a+b+西√A+B+C (2)直线与平面平行的充要条件:l1∥xel1⊥n1,即a1A1+b1B1+c1C1=0 (3)直线与平面垂直的充要条件:1⊥x1∥元,即2==。 系数不满足以上条件时,直线与平面斜交。 1.1,4二次曲面 11.4.1定义 如果曲面上的点的坐标用x,y,z表示,常用F(x,y,z)=0表示一张曲面的方程。如果 F(x,y,z)=0为二次方程,则它所表示的曲面为二次曲面。 114.2特殊的二次曲面方程 球面方程(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2,球心(a,b,c),半径R )2 椭球面 单叶双曲面方程 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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双叶双曲面方程x2 椭圆抛物面方程39同号) 双曲椭圆抛物面方程 3p+5=xP;q同号) 锥面方程xbc250 11.5栏面 如果曲面方程F(x,y,z)=0中缺少一个变元,则称其为柱面方程。柱面的母线与所缺变 元同名的坐标轴平行。如F(x,y)=0为母线平行于z轴的柱面方程;F(y,z)=0为母线平行 于x轴的柱面方程;F(x,z)=0为母线平行于y轴的柱面方程。 1.1.6旋转曲面 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面,这条定直 线称为旋转曲面的轴如xOy平面内一段方程为F(x,y)=0的曲线C,绕x轴旋转一周得到 一个旋转面,该旋转曲面的方程为f(x,√y2+2)=0。 I.1.7空闻曲线 (1)一般方程。空间曲线可以看作是两个曲面的交线。若空间曲线L是曲面F1(x,y,x) =0和F2(x,y,z)=0的交线,则L的方程可用下述方程组表示,此方程组称为空间曲线L的 般方程 F2(x,y,z)=0 2 r (2)参数方程。将空间曲线L上动点的坐标xy、z表示为参数t的函数{y=y(t) = a 这方程组称为空间曲线L的参数方程例如参数方程{y=an8表示的空间曲线是螺旋 线。 12微分学 12.1极限 12.1.1定义 (1)数列的极限如果对于任意给定的c>0,总存在正整数N,当n>N时,恒有 E成立,则称常数a为数列{xn当n趋于无穷时的极限记为lmxn=a。 (2)函数的极限 1)定义1:设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的e>0,总 存在正整数8>0,使得对于满足0<1x-x01<的一切x,恒有1f(x)-A|<e,则称常数A为 函数f(x),当x→x时的极限,记为lmf(x)=A。 2)定义2:如果对于任意给定的e>0,总存在N>0使得对于满足|x|>N的一切x,恒有 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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f(x)-A!<E,则称常数A为函数f(x)当x∞时的极限,记为limf(x)=A (3)左极限、右极限 1)在lmf(x)=A的定义中,把0<}x-x01<b改为x-8<x<x,那么A为函数f(x)当 x→x0时的左极限,记为limf(x)=A或f(x0~0)=A 2)在lmf(x)=A的定义中,把0<|x-x<δ改为x0<x<x+δ,那么A为函数f(x)当 →x0时的右极限,记为imf(x)=A或f(x+0)=A。 3)在lmf(x)=A的定义中,把|x>N换为x>N,则称常数A为函数f(x)当 x→+的 的极限,记为limf(x)=A。 4)在lmf(x)=A的定义中,把|x1>N换为-x>N则称常数A为函数f(x)当x→-∞ 时的极限,记为limf(x)=A。 1212极限的性质 (1)若imf(x)=A>0,则必存在x的某邻域,在该邻域内任何异于x的点x处,恒有 f(x)>0。 (2)若f(x)≥0,且limf(x)=A,则必有A≥0。 (3)f(x)在如处极限存在的充要条件是∫(x)在x0处的左极限和右极限都存在且相等, 三个值相同。 12.1.3极限的四则远算 若 limf(x)=A,limg(x)=B,则 in[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B inf(x)·g(x)]=limf(x)·img(x)=AB mf(x=m3[当lmg(x)=B≠0时 注自变量变化过程可以是x→x0,x→的,xx 但等号两 端出现的必须是同一种。 12,14极限存在准则和两个置要极限 (1)夹逼准则。若g(x)≤f(x)≤h(x),且当x→x时,g(x)→A,h(x)→A,则当x→xo 时,有f(x)→A。 (2)单调有界的数列(或函数)必有极限。 (3i两个重要极限:1m03=1im(1+1)=e或lm(1+x)= 12.15无穷小量、无穿大量 (1)无穷小量。如果imf(x)=0,则称函数f(x)当x→x0(x∞)时为无穷小量(无 穷小)。 (2)无穷小量的性质 1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量; 2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量; 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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3)无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量 (3)无穷大量:如果当x→x0(x→∞),对应的函数值的绝对值lf(x)无限增大,则称函数 f(x)当x→x(x→∞)时为无穷大量(无穷大)。 【例1-1】求lim2sin3(x为非零常数)极限。 解:对任意的x,lim=0由重要极限 lim sinx-1得 x lim2”sinx=limx 1.2.2连蟆 122,1函数的连续性 122.1.1函数的连续性的定义 (1)若函数y=f(x)在点xo的某邻域内有定义,如果limf(x)=∫(x0),则称f(x)在x处 连续。 (2)如果Hmf(x)=f(x0),即f(x0-0)=f(x),则称f(x)在x0处左连续。 (3)如果limf(x)=∫(xo),即f(xo+0)=f(xo),则称f(x)在x处右连续。 若函数f(x)在区间I上每一点都连续,则称f(x)在该区间上连续。特别是当=[a,b 时,f(x)在[a,b]上连续是指f(x)在(a,b)内每一点处连续,且在a处右连续,在b处左连 续 12.2.1.2函数的间断点 由函数在一点连续的定义可知,函数f(x)在一点x处连续的条件是 (1)f(x0)有定义 (2)limf(x)存在; (3)limf(x)=f(xo)。 若上述条件中任何一条不满足,则∫(x)在x处就不连续,不连续的点就称函数的间断 点,间断点分成以下两类: 第一类间断点:x0是f(x)的间断点,但f(x)及∫(x)均存在; 第二类间断点:不是第一类的间断点。 在第一类间断点中,若limf(x)、limf(x)均存在但不相等则称这种间断点为跳跃间断 点;若f(x0)及f(x)均存在而且相等,则称这种间断点为可去间断点。 1222初等函数的连性 (1)基本初等函数和初等函数。幂函数指数函数对数函数、三角函数和反三角函数统称 为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式 子表示的函数,称为初等函数。 (2)初等函数的连续性。一切初等函数在其定义区间内都是连续的,这里的“定义区间”是 电缆情缘欢迎你 http://ahwwwsb.b.co.163.com
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