(c)4dr=(n+1)h,n=0,1,2, 或 a ba =n 利用上述公式,计算在下列势阱中粒子的能量允许值 (1)势阱(见图1.10) p(习=8 图1.10 田上,1l V(r)=gi 先进行量纲分析,然后求能量允许值 答 E=().[x(n-当) 0 e&x. 酽为均匀电场强度,e为粒子电荷,(见图1.11) 答 E。=÷(9*2e2h/m)14n+ 3 n÷0,1,2, 6.中心力场v()中,角动量为0的粒子(在经典力学中这是什么图像? 的能量量于化条件为 2m(E-V(r)trmn+|h,n=0,1,2,…
设v(r)=-( Coulomb场),求粒子能量允许值 答:对于l=0的能级 E me(n+ 3 4,n=0,1,2,… 图 7.(a)试用 Fermat最短光程原理导出光的折射定律;nsin1=n28i以2 (见图1,12).(b)光的波功说的拥护者曾经向光的微粒论者提出下列非难 如认为北是“粒子”则其运动遵守最小作用原d灿=0若认为p=m, 则udt=0,指粒子“动量”,y指粒子“速度”这样将导出下列折射定律: nina=n2sin1,这明显违反实验事实.邸使考虑相对论效应,对于自由粒 子,p=Fv/2仍然城立,E是粒子能量,从一种介质到另-种介质,E不改 变因此,仍然得到6=,盾依然存在你怎样解决这盾? W L. de broglie le journal de physique et la Radium, 7(1928>,1 8.对于高速运动粒子(静质量n),能量及动量由下式给出 E=me2/√1…v2/2(v是敉子速度) pm/√1-12/2*Evy/c2 试根据 Hamilton量 H-Ex√m+p2 及正则广程来验证这两式由此求出粒子速度与 de broglie波的群速之同关 系计算其相速,并证明相速大于光速c 提示:利用 H a内
第2章波函数与 Schrodinger方程 2.1波函数的统计诠释 2.1.1波动粒子两象性矛盾的分析 人们对物质粒子波动性的理解,曾经经历过一场激烈的争论 包括波动力学创始人 Schrodinger ,de broglie等在内的许多人,对 于物质粒子波动性的早期理解都曾深受经典概念的影响①.最 初,电子波被理解为电子的某种实际结构②,即电子被看成在三维 空间连续分布的某种物质波包③,因而呈现出干涉与衍射等现象 波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子的运动速度 但稍加分析,这种看法就碰到了难以克服的困难例如,在非 相对论情况下,自由粒子的能量为E=少212m,用 de broglie关系 式代入,可得 加2/2 =2/A (1) 所以,波包的群速度(见附录一)为 da 触/m=p/m (2) 即经典粒子的速度.但由于 d dk2 /m≠0 ①参阅L. de broglie, Nonlinear Wave Mechanics,Par1,chap.1(1955 o2 D, Bohm, Quantum Theory (1954), chap 3,513 F, Bloch, Physics Toda (1976),No,12p.24 ③ Schrodinger认为:波函数本身代表个实在的和物理的可观测,它描述物 质的分布例如,一个粒子可以想象成一个物质波束或波包.参阅P. Robertson,The Early Year. The Niels Bohr institute191-1930杨福家,卓益忠曾谨言洋,玻尔研究 所的早年岁(1921~1930),P.13,1985,科学出版社
物质波包必然要扩散①,即使原来的波包很窄,在经历一段时间 后,必然会扩散到很大的空间中去或者更形象地说随时间的推 移电子将愈变愈“胖”,这与实验是矛盾的.实验上观测到的一个 个电子,总处于空间一个小区域中,例如,在一个原子里面,其广延 不会超过原子的大小(≈1A 此外,在电子行射实验中,当电子波打到晶体表面后发生衍 射,衍射波将沿不同方向传播开去.如果把一个电子看成三维空间 的物质波包,则在空间不同方向观测到的将是“一个电子的部 分”,这与实验完全矛盾实验上测得的(例如,计数器或照相底板 上)总是一个一个的电子,各具有一定的质量、电荷等 物质波包的观点显然夸大了波动性的一面,而实际上抹杀了 粒子性的一面,是带片面性的 与物质波包相反的另一种看法是:波动性是由于有大量的电 子分布于空间而形成的疏密波,它类似于空气振动出现的纵波,即 分子的疏密相间而形成的一种分布这种看法也与实验矛盾,实际 上可以做这样的电子衍射实验:使入射电子流极其微弱,电子几乎 是一个一个地通过仪器但只要时间够长,则底板上将出现衍射花 样.这说明粒子的波动性并不依存于大量电子聚集在空间一起,单 个电子就具有波动性 也正是由于单个电子具有波动性,才能理解氢原子〔只有个 电子!〕中电子运动的稳定性以及能量量子化等这样一些量子现象 因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的 看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一面,而实际上抹杀了粒子 的波动性一面,也带有片面性 然而电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?“电子既不是粒 子,也不是波”,更确切地说,它既不是经典称子,也不是经典的 ①这里我们不去讨论非线性光学和粒子物理中探讨的孤立子( soliton)解问题, 它是种既不扩散,又局限于室间小区域中的波,这要涉及非线性场方程问题 ②例如,见 The Feynman Lectures on Physies,■, Quantun Mechanics, Add son-Wcslcy, chap. lI 1. 19065
波.但我们也可以说电子既是粒子,也是波,它是粒子和波动两象 性矛盾的统∴这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经與概 念下的粒子,为了更清楚地了解这一点,我们简要地回顾一下经典 粒子和波的概念 在经典力学中谈到一个“粒子”时,总意味着这样一个客体,它 具有一定的质量、电荷等属性,此即物质的“颗粒性”( corpuscular ity)或“原子性”( atomicity).但与此同时,人们还按照日常生活的 经验认为它具有一定的位置并且在空中运动时有一条确圳的轨 道,即在每一时刻有一定的位置与速度物质粒子的“原子性”是为 实验所证实了的(例如,电子具有一定的质量m=9.11×10-2g与 电荷-e=-1.602×10-1C)但粒子有完全确切轨道的看法只是 Newton力学理论体系中的概念,在宏观世界中,这概念是一个很 好的近似(例如,炮弹的轨道、卫星绕地球运动的轨道等),但这概 念从来也没有无限精确地为实验证实过, 在经典力学中谈到一个“波动”时,总是意味着某种实际的物 理量的空间分布作周期性的变化(例如,水波、声波、弹性波),而更 重要的是呈现出干涉与衍射现象干涉与行射的本质在于波的相 干叠加性( coherent superposition) 在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到一个客体上去,然 而我们究竞应该怎样正确地理解粒子与波动两重性呢? 2.1.2撼率波,多粒子系的波函数 稍微仔细分析一下实验可以看出,电子所呈现出来的粒子性, 只是经典粒子概念中的“原子性”或“顺粒性”,即总是以具有一定 的质量、电荷等属性的客体出现在自然界但并不与“粒子有确切 的轨道”的概念有什么必然的联系而电子呈现出的波动性,也只 不过是波动性中最本质的东西—波的“相干叠加性”,并不一定 要与某种实际的物理量在空间的分布联系在一起 把微观粒子的波动性与粒子性统一起来,更确切地说,把微观 粒子的“原子性”与波的“相千叠加性”统一起来,是Born(1926)提