出来的概率波①他是在用 Schrodinger方程来处理散射问题吋为 解释散射粒f的角分布而提出来的他认为 de broglie提出的“物 质波”,或 Schrodinger方程中的波函数所捎述的,并不像经典波 那样代表什么实在的物理量的波动只不过是刻画粒·子在空间的 概率分布的慨率波而已 为了较简单和清楚地阐明这些概念,为了从实际的品体衍射 实验技术复杂性中摆脱来,我们将分析一个比较简单的电子 的双缝干射实验(见图2.3) 但为了更好地理解电子在双縫十射中呈现出的量子特征先 对比一下用经典粒子(例如,子強)与经典波(例如,声波、水波、弹 性波)来作类似的双缝实验的结果 图21中,一机枪从远处向靶子不断进行点射,机枪与靶之间 有一堵子弹不能穿透的墙墙上有二条缝当只开缝1时,靶t子 弹的密度分布为1(x);当只开缝2,靶上子弹的密度分布为 P2(x);当双缝齐开时,经过缝1的子弹与经过缝2的f弹,各不相 千地一粒一粒地打到靶上,此时靶上密度的分布简单地等于两个 密度分布相加 P,(x 0 (r) 12(x)=P1(x)+P(n P12(x)=p(x)+P2(x) (4) o M. Born, Zeit. Physik, 38 (1926),803
其次,我们来分析声波经过双缝的干射现象图2.2中,在远 处S放置一个稳定的(频率v的声源声波经过具有双缝的隔音 板,在它后面有一个“吸音板”,到达板上的声波将被吸收,并把声 音强度分布显示出来 0 声派 l12(x 隔音板 吸音板图 l2(x) 2.2 当只开缝1时,测出的声波强度( intensity)分布用f1(x)描 述;当只开缝2时,声波强度分布用l2(x)描述;当双缝齐开时,声 波强度分布为I12(x),但l12≠1+I2,只开一条缝时,声音很强的 地方,在双缝齐开的情况下,声音可能变得很弱,这里,出现了干涉 现象 设经过单缝1的声波用h1(x)e描述(u=2my),经过单缝2 的声波用h2(x)e‘描述,双缝齐开时的波幅为(h1+h2)e(波的相 干叠加性!)此时声波强度分布为 I12=|h1+h212=1h1|2+h2|2+(h1k2+h2h1) I1+I2+.干涉项 11+I2 (5) 由于存在干涉项,经典波强度分布与经典粒子密度分布大不相同 现在我们来分析电子的双缝干射实验(图2.3).设入射电子 流很微弱,电子几乎一个一个地经过双缝,然后打到感光底板上 起初,当感光时间较短时,底板上出现的一些感光点子的分布,看 起来没有什么规律,这些点子记录下一个一个电子的痕迹但当时
图2.3电子干射 (a)单缝衎射与似缝干射花样(经过放大).加速电压为5kV,电子波长A≈ 0,055人,縫宽0.3m,相邻缝的闻隔为1pm.[C. Jonsson,zei.Phys, 161(1961),454;Am·J,Phy.42(1974)4. (b)电流密度不同情况下的电子干射花样在电子显撖镜中装配一个电子光 学双棱镜系统,并在电子显微镜的成象系统上安装一个电视加强器,幢干 涉条纹的间距放大图中各照片是不同电流密度下拍摄下来的,LPG Mcrli, G F Missiroli, G Pozzi, Amz.J Phys. 44(1976),306.] 37·
间够长时,底板上感光点子意来愈多,结果有些地方点子很密,有 些地方则几乎没有点子,最后底板上感光点子的密度分布将形成 个有规律的花样,与X光衍射实验中出现的衍射花样完全相 似.就强度分布来说,与经典波(如声波)的双缝行射是相似的,而 与机枪子弹的分布完全不同,这种现象应怎样理解呢? 原来,在底板上点r附近衍射花样的强度 ∝在点r附近感光点子的数目 ∞在点r附近出现的电子的数目 ∞电子出现在点r附近的概率 设衍射波波幅用ψr)描述,与光学中相似,衍射花样的强度 分布用ψ(r)|2描述但是在这里波的强度|()2的意义与经典 波根本不同,它是用来刻画电子出现在点r附近的概率大小的 个量.更确切地说,|(r)|2△z△y△z代表在点r附近的小体积元 △x△y△z中找到粒子的概率,这就是Bora提出的波函数的概率诠 释,它是量子力学的基本原理之一 按照这样的理解,电子呈现出来的波动性反映了微观客体运 动的一种统计规律性,因此称为概率波( probability wave),所以 波函数中r)也称为概率波幅( probability amplitude)在非相对论 的情况下(没有粒子产生与湮没现象),概率波正确地把物质粒子 的波动性与原子性统一了起来,并经历了无数实验的考验关于波 雨数的统计诠释的更深刻的含义,往后我们还要不断讨论 根据波函数的统计诠释,很自然要求该粒子(不产生,不湮没) 在空间各点的概率之总和为1,即要求yr)满足下列条件: I (r)d3 (6) 这称为波函数的归一化( normalization)条件 但应该强调对于概率分布来说,重要的是相对概率分布,不 难看出,ψ(r)与Cψ(r)(C为常数)所描述的相对概率分布是完全 相同的例如在空闻点r1与点r2的相对概率波函数为Cψ(r)情 况下,是
Cy(r1) 7) C(r2)121(r2)2 与波函数为ψ(r情况下的相对概率完全相同换言之,Cψ(r)与 (r)所描述的概率波是完全一样的所以,波函数有,个常数因子 的不定性,在这一点上,概率波与经典波(声波、水波、弹性波等)有 本质上差别,经典波的波幅若增加一倍,则相应的波动的能量将为 原来的4倍,因此代表了完全不问的波动状态这一点是概率波与 经典波的原则性区别概率波有归一化概念,而经典波则根本谈不 上什么“归-化” 按上述分析,波函数的归一化条件(6)就相当]波函数的平方 可积条件,即 ψ(r)|d (A为正实数) (8) 因为,假设ψr)满足式(8),则显然 g(r)2 d3x=1 (9) (全)√A 即火r)/√A将是归一化的,1/√A称为归化因子.但无论是 如(),或(r)/√A,它们所描述的概率波是完全一样的波函数 的归一化与否,并不涉及到概率分布有何变化.以后,为处理问题 方便,我们还将引进一些理想的、不能归一化的波函数,例如,平而 波. 还应提到即使加上了归一化条件,波函数仍然有一个模为1 的因子的不定性,或者说,相位不定性.因为假设ψ(r)是归化 波函数,则e"ψ(r)(a为实常数,即相位)也是归一化的,耐e"y(r) 与ψr)所描述的是同一个概率波. 问题1粒子在一维无限深势阱(见图1.7)中运动,设 S(x)= Asin - 求归一化常数A.设yx)=Ax(a-x),A=?粒子在何处概率最大?