尚未被人们认识到.这两方面必有类似的关系式相联系,而 Planck常数必然出现其中⑩ de broglie仔细分析了光的微粒说及波动说发展的历史,并 注意到了19世纪 Hamilton曾经阐述过的几何光学与经典粒子力 学的相似性,提出了他的物质波假说我们知道,几何光学的三条 基本定律(在均匀各向同性介质中光线沿直线传播,反射定律及 折射定律)可以概括为 Fermat原理(亦称最短光程原理),即 d l A 式中v=c/n,c为光在真空中的速度,n为介质的折射系数式(]) 还可表为 aI ndz=0 (1) 上式表示,光线从A点到B点笑际上所走路径,比起相邻的其它 可能的路径来说,光程nd取极值 另一方面,按照经典粒子力学,在势 场V中运动的一个粒子从A点到B点实 际上所走轨道,由 Maupertuis的最小作 用原理确定,即 d=√2n(E-V)d=0(2) 其中m是粒子质量,p是粒子动量的值, 图1.5 F是能量.式(2)表明,粒子从A到B所 走的实际轨道的“作用积分”( action Inte gal)|地dl,比起相邻的其它可能的轨道取极值 根据上述分析与类比, de broglie提出,与具有一定能量E及 $0 L de broglie, Nonlinear Wave Mechanics, Part 1, chap 1, 1955. ·20·
动量p的粒子相联系的波(他称为“物质波”)的频率及波长分别 为 V=E/h A= hip (3 他提出这个假设,一方面是企图把实物粒子与光的理论统一起米, 另一方面是为∫更自然地去理解微观粒子能量的不连续性①,以 克服Bhr量子化条件带有人为性质的缺点 de broglie把原子中 的定态( stationary state)与驻波( stationary wave)联系起来,即把 粒子能量的量子化与有限空间中驻波的频率及波长的不连续性联 系起来虽然从尔后建立起来的量子力学的观点来看,这种联杀还 有不确切之处,能处理的问题也很有局限性,但它的物理图象是很 有启发性的 例如,在氢原子中作稳定的圆轨道运动的电子所相应的de Broglie驻波的一种波形,如图1.6所示驻波条件要求:波绕原子 核传播一周后应光滑地衔接起来,否则叠加起来的波将会由于千 涉而相消这就对轨道有所限制即圆轨道的周长应该是波长的整 数倍: 2Jr= 1,2,3 (4) λ-2m/n 再利用 de broglie关系A=h/p,即可得到粒子的角动量为 九 (5) ①见D.Bohm, Quantum Theory,1954,p.70、有仔细讨论但据F. Bloch, Physics Today,1976·No.12,p.24文中所说这个思想是由E. Schrodinger 提出的,而M.Born则认为 de broglic与 Schrodinger都有这种想法(Born在 获诺贝尔奖时的讲话
这正是Bohr的量子化条件.这样,就物质波的驻波条件比较自 然地得出了角动量的量子化条件 2 又例如,在无限深方势阱中运动的粒子(图1.7),相应的物质 波限制在[0,a范图中传播.在此范圉之外,以及x=0和a两个端 点上,波幅为0,即x=0和a是波的节点,这与两端固定的弦振动 相似按驻波条件 n=1,2,3, 即 λ=人 2a (6) 可见驻波的波长是不连续变化的(图1.7)再利用 de broglie关系 式,即可得出粒子的动量及能量的可能取值 户=p=h E=E= p:/2m bmQ2≈ (7) emma
它们都是不连续的由此人们可以很自然地理解,为什么束缚粒子 的能量是量子化的 物质波假设提出以后,人们自然会问物质粒子既然是波,为 什么人们在过去长期实践中把它们看成经典粒子却并没有犯什 么错误呢?为此,迫溯一下人类对光的认识的发展历史是有意义 的在17世纪,牛顿认为光由做粒组成,并作直线传播直到19世 纪在肯定∫光的干涉与衍射现象之后,光的波动性才为人们确认, 而光的干涉和谷射现象只有当仪器的持征长度与光波长可相比拟 的情况下才明显.例如,对比一下光的针孔成像与圆孔衍射实验是 有趣的针孔成像可以用光的直线传播来说明,即用几何光学来处 理是恰当的但平常所谓“针孔”其大小(例如≈10-cm)比可见 光的波长[A≈(4.00~7000A<10-cm】仍然大很多.但如把针 孔半径a不断缩小,当a≈λ时,针孔成像将不复存在,此时将出现 圆孔衍射花样.这时用几何光学来处理就不恰当,而波劲光学就成 为必需的了 de broglie认为,物质粒子的波动性与光有相似之处,但于 h是一个很小的量,实物粒子的波长实际上是很短的.在一般宏观 条件下,波功性不会表现出来(粒子性是主要矛盾方面),所以用经 典力学来处理是恰当的,例如,观测 Brown运动所用的液体中悬 浮的微粒直径≈1m(=105m),质量m≈10-12g,在常温下,其 热运动能量A≈0.4×10-9.动量P=√2mR=√3mT,而 波长A=h/√3mkT=:5×101m,比粒子直径小得很多,因此,波 动性是不显著的 但是到了原子世界中(原子大小≈1A),物质粒子的波动性使 会明显表现出来此时,经典力学就无能为力了,正如几何光学不 能用来处理光的千涉与衍射现象一样因此,处理原子世界中粒子 的运动,就需要一种新的力学规律—一波动力学.这个问题是 Schrodinger在1926年解决的
问题1一个自由电子具有能量10eV,求其波长在非相对论情况下, 质量为m能量为E的自由粒子, de broglie波长k=h/p=h/√2m,若E 用eV为单位,对于电子(m=9,Mt×上0-28g),有 问题2一个具有MeV能量的a粒子穿过原子时,可否用经典力学来 处理?设枪弹质量为20g,飞行速度为10m/s,求其 de broglie波长,并讨论 有无必要用波动力学来处理 问题3对于高速运动粒子(E>mc2),E=√P2+m2ospe,de Broglie波长为 λk200 (9 式中E用MeV为单位用fm为单位.设想用高能电子散射去探测原子核 或核子的电荷分布细节,对电子能量E有何要求?(核子大小≈fm,中等原子 核的半径≈5m) 实物粒子的波动性的直接证明,是在1927年才实现的① Davisson& Germer用具有一定能量(波长)的电子垂直地射向金 属镍单晶(立方晶)的磨光平面[例如,(1,1,1)晶商]上,观测不同 角度上的反射渡强度,他们观测到与X光相似的衎射现象在磨 光的平面上成列地排列着整齐的原子,这晶面可以看成许多线型 光栅的集合对于不同的磨光晶面,光栅常数也不相同.在垂直入 射的情况下,单晶表面等效于一个反射光栅其光栅间距a依赖于 晶格常数及磨光平面的取向当下列条件满足时将出现反射波加 asind= nA l,2,3, (10) o G.J. Davisson. L. H. Germer, Phys. Rev., 30(1927),705. G. P. Thom sOZ, Proc Roy Soc., A(London), 117(1928). 600: Nature, 120(1927) R02为此 Davisson和 Thorson获1937年Nbel物理学奖