state)因此,原子能量的任何改变包括吸收和发射电磁辐射,都 只能在两个定态之间以跃迁( transition)的方式进行 (b)原子在两个定态(分别属于能级E和Em,设En>Em)之 间跃迁时,吸收或发射的辐射的频率v是唯一的,由 hv=E-E 频率条件) 给出 简单说来,Bohr量子论中核心的思想有两条:-是原子具有 能量不连续的定态的概念,是两个定态之间的量子跃迁的概念 以及频率条件它们在后来建立起来的量子力学中,仍然被保留了 下来 于Bohr提出的两条基本假定,我们再作适当说明:第…个 假定涉及原子能量的量子化及稳定性问题, Planck-Einstein的辐 射的量子论中提出,辐射与物体(由原子组成!)之间交换能量(吸 收或发射光)是以光量子方式进行.在Bohr理论中提出了原子能 量量子化的概念这样,两个理论就显得十分和谐关于稳定性问 题,除了表现在加速电子要放出辐射丧失能量之外,还表现在 Rutherford模型中原子对于外界(其它粒子)碰撞是极不稳定的, 这都迫使人们必须引进原子能量量子化及定态之间量子跃迁的概 念.有∫这些概念之后,前面提到的关于分子和原子比热的Botz man佯谬也就迎刃而解 如果说原子能量量子化概念还可以从 Planck- Einstein的光 量子论中找到某种启示,量子跃迁概念和频率条件则是Bohr很 了不起的创见, Einstein对这一点给予了极高的评价①按照经典 电动力学,一个带电体系如以某特征频率y振动,则体系可发出 ①A. Einstein, science;113(1951),82.或免 ter Haar, The old Quantum The ory,chap4. Einstein在分析了辐射现象与经典理论之间严重矛盾之后提到,他曾经企 图修改理论物理基础去说明辐射现象,但一切努力均告失敷对Bohx提出的量子妖迁 和频率条件对光谐规律作出的漂亮解释 Einstein写建:“…& peered 1@ me like a mira- cle- and appears to me Bs a miracle even today. 'this is highest form of musicality in the sphere uf thought 15
频率为m(n=1,2,3,…)的辐射,换言之,辐射的频率总是与体系 的某一种振动特征频率的整倍数相联系Bohr的重大贡献在于他 把原于辐射的频率与原子的两个定态的能量差联系起来这样,光 谱频率的 Rydberg-Ritz组合原则就得到极好的说明.光谱项的物 理意义也就搞清了,即m=T(n)T(m)正是频率条件hlm=En En的反映T(n)=En/hc,光谱项T(n)是与原子不连续的定态 能量E直接联系在,起的量子跃迁概念深刻地反映了微观粒子 运动的特征,而频率条件则揭示了 Rydberg-Ritz组合原则的实 质 当然仅仅根据Bohr的两条基本假定,还不能把原子的分立 的能级定量地确定下来.Bohr解决此问题的指导思想是对应原理 correspondence principle)—在大量子数极限情况下,量子体系 的行为将趋向与经典力学体系相同①.Bhr在他的第一篇文章中, 根据对应原理的思想得出了一个角动量量子化条件②,即电子运 动的角动量J只能是=h/2x)的整数倍 J=n A n=1,2,3, 关于如何根据对应原理来确定氢原子和一些简单体系的量子化 能级和推导出角动量量子化条件,将在本书(卷I第二章中讨论像 ①对应原理的系统述最早见于N.Bohr,Pra.Ikn.Acad.Sc.(1918),(8) 4Na.1,Parl,I.正式使用这↑名字最早见于1920年的文章.N.Bohr,Zei Physik, 2(1920),423;N. Bohr, The Theory of Spectra and Atomic Constitution, Cambridge University F,1922.但对应原理思想的萌芽,在他193年发衰的“伟大 的三部曲”中已经可以明显看出(见第一篇论文,§3就是根据这个思想来定出氢原子 级的).1913年12月,Bhr在哥本哈根物理学会上的报告中又特别强调了这↑思 想的或要性,见N.Bohr, Frisk Tid醺,12(1914),97 ②在Bohr第一篇伦文中,角动量量子化条件是作为一个推论出现的它并非 hr理论中最括本的东西从历史事实来看,角动量量子化条件并不是Bohr一人的贡 献几乎与他同时, Ehrenfest在分析转子运动的文章中,已提出了角动量量子化条件 [见P. Ehrenfest,VrAD.Phys.Ge,,』5(1913),451]. Nicholson在1912年发表的 系列文章中已提到让电子的轨道角动量等于瓦见JP. Nicholson, Mthly Not.As ,,72(1912),49,139,677,692]Bohr的文章中就提到了 Nicholson的工作 可参阅 F Hund, The History of Quantum Theory, Appendix,或曾谨言,喀 兴林,大学物理(1985),Na8“对应原理在量子论发展中所起的作用文 16
直接根据对应原理思想来确定个体系的量子化能级需要知道 体系轨道运动的频率对能量E的依赖关系y(E)一般说来这是 比较麻烦的.如果反过来,把角动量量子化条件作为出发点,往往 可以比较容易求出体系的量子化的能级这可能是当时一些人把 注意力转向研究量子化条件的原因之一例如, Sommerfeld等为 处理多自由度体系的周期运动的能量量子化给出了推广的量子 化条件 户dqk=nh,n=1,2,3, (2) 其中g、p代表一对共轭的正则坐标与动量,巾代表对周期运动 积分一个周期.他们还用量子化条件来处理中心力场中粒子运动 的量子化问题,得到一些有价值的结果.但后来 ehrenfest等人发 现,表示成相空间积分形式的量子化条件(2),有时会导出很荒谬 的结果 Bohr根据对应原理思想,定量地求出了氢原子能级公式为 h'n n=1,2,3 (3) 2h 根据此能级公式和当时已测得的m,e,h的数值,可以计算出Ryd eg常数 R h3c ①)W. Wilson Phil.Mag.,29(195)795,但未做具体计算. Sommerfeld和 Planck不知道 Wilson工作,也提出此推广的量子化条件,并做了很多计算,特别对屮 心力场(不仅限于 Coulomb场)见A. Sommerfeld,Sit.Be. Tianchen(1915),425, 457: Ann. der Physik, 5(1916),5. M. Planek, Verh. D. Phys. Ges., 17(1915) 407,438;Amn, der Physi,50(1916),385 2 P Ehrenfest G. Breit, Proc. Ams, 23(1922),989, Zeir. Physik, 9 (1922), 207, P. Ehrenfest &R. C. Tolman, Phys. Reu, 24(1924). 287. Bohr tb. i k 渐感到相空间积分形式存在的问题(如用对应原理直接去处理则不会出现那种荒结 果)所以当他在G6 ttingen讲学时(1922),曾经该谢地表达这个思想:“ Up with the Correspondence Principle! Down with the Phase Integral!"(R F. Hund, The history o[ Quantum Theory, p 84)
与光谱学中定出的精度很高的 Rydberg常数值相当符合.根据 Bohr理论,不但可以解释氢原子光谱中已观测到的 Balmer线系 (在可见光区域)和 Paschen线系(红外区),并且还预言在紫外区 存在另一个线系.第二年(1914),此线系果然被 Lyman观测到了 原子能量不连续的桃念也在1914年为 franck和 Hertz的实验直 接证实①Bohr还建议把天文学上观测到的与氢原子光谱规律很 相似的 Pickering线系解释为He+的光谱.在此之前,A. Fowler 在实验室中也观测到此线系,Bohr理论提出后, Evans重新仔细 做了此实验,证明Bohr的看法完全确 Einstein称赞Bohr的这 个预言是“最伟大的发现之一”,这对于Bohr理论被人们承认起 了很大作用 当然应该看到,虽然Bohr理论取得很大成功,首次打开了人 们认识原子结构的大门,它存在的问题和局限性也逐渐为人们发 现首先,Bohr理论虽然能成功地说明氢原子光谱的规律性,但对 于复杂原子光谱甚至对氦原子光谱,Bohr理论就遇到了极大的 困难,不但定量上无法处理,甚至在原则上就有问题(这里有些困 难是与人们尚末认识到电子的一个新的自由度—一自旋的间题交 织在一起).在光谱学中,除了谱线的波长(频率)之外还有一个重 要的观测量,即谱线的(相对)强度这个问题,在Bohr理论中虽 然借助于对应原理也得到了一些有价值的结果,但却不能提供系 统解决它的方法此外,Bohr理论只能处理简单的周期运动,而不 能处理非束缚态问题,例如,散射,再其次,从理论体系上来看, Bohr提出的原予能量不连续慨念和角动量量子化条件等,与经典 力学是不相容的,多少带有人为的性质,并未从根本上解决不连续 性的本质所有这一切都推动着理论进一步发展,而量子力学就是 在克服这些困难和局限性中发展起来的 在今天看来,Bohr的量子论已经为量子力学所代替但是 J. Franck and G. Herte, Verh. D. Phys. Ges,, 16(1914,457, 512. ②转引自D. ter Haar, The Oid Quantum Theory,p.42
Bhr提出的一些最基本的概念(原子能量的量子化,量子跃迁概 念,频率条件等)至今仍然是正确的,并在量子力学中被保留了下 来而且Bohr的深刻的思想,在很长一段时间内,对量子力学的 建立和对近代物理的发展都有重要的影响特别是对应原理的思 想作为经典力学和量了力学的桥梁,在量子力学建立的过程中 (例如,对 Heisenberg和 Kramers关于色散问题的T作)起过积极 的作用.所以有人称Bohr的量子论为“对应原理的量子力学” (The Quantum Mechanics of the Correspondence Principle, Iund--书,p.78).它与 Planck和 Einstein关于辐射的量子理论 道,实际上扮演了“简单体系的暂时的量子力学”( A Provisional QuantuM Mechanics of Simple Systems)的角色. eisenberg的矩 阵力学的提出,可以认为是Bohr对应原理的逻上发展的结果 见同书p.76) 1.4 de broglie的物质波 在 Planck与 Einstein的光量子论及Bohr的原子量子论的启 发之下,考虑到光具有波动与粒子两重性(两者通过E=hy,p h/联系起来), de broglie根据类比的原则,设想实物粒f(指静质 量m≠0的粒子)也可能有粒子与波动两重性①,只不过其波动性 ①L, de broglie, The Beginnings of Wave Mechanics载于 Wave Mechanics the first fifty years (1973), W.C. Price 3, Univeraity of Landon Kings College Butterworth8.Co.]提到:“…(1919年以前)我的注意力特别为 Planck, Einstein和 hr关于量子理论的工作吸引住了从 Einstein提出的光量于论中,我认识到光辐射 中波与粒于共存乃是自然界本身最核心的一个事实…在1923年,下列想法突然浮现 在我心头,即波与粒于共存决不应仅局限于 Einstein研究过的情况,面应推广到所有粒 于将这思想应用于电于,看来就必须解释Bohr关于原子的定态理论中提到的电子在 原于中运动的离奇性质,…在我的1923年的文章和1924年学位论文中,我已经能对 Bhr原于理论中提出的量子化条件给出第一个解释,说明波在原子中的传播与几何光 学近似是协调的,这是不严格的,但提供了一个初步的和令人十分注目的时量子化条 件的诠释.在我的学位论文中还探讨了许多其它有趣的想法特别是关于 Fermat原理 与 Maupertuis最小作用原理的最终统一.…" 9