第一章制图的基本技能与方法 (三)直线上的点 直线上点的投影必在该直线的同面投影上,且点分线段长度之比等于其投影长 度之比。如图3-1-48中,棱线AB上点K的投影k′、k、k",分别落在ab、a'b'、ab 上,且符合点的投影规律。同时AK:KB=ak=hb=a"k":k"b"=ak":R"b" 又如图3-1-50所示,已知侧平线AB上点K的正投影k’,求作其水平投影k 时,可先求出直线AB的侧面投影后,再求点K的水平投影,但运用定比关系来确更 为简便。图3-1-50中,自a画一任意辅助线bo,取aco=ak,cnb。=k"b',连bb 作cnk∥b。交ab于k,即为所求。 b 图3-1-50求直线上点的投影 图3-1-51两直线平行 (四)两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况 1.两直线平行空间两直线互相平行,其各组同面投影一定互相平行。如图3
（三）直线上的点 直线上点的投影必在该直线的同面投影上，且点分线段长度之比等于其投影长 度之比。如图 ! " # " $% 中，棱线 !" 上点 # 的投影 $& 、$& 、$’ ，分别落在 %&、%& &&、%’ &’ 上，且符合点的投影规律。同时 !# ( #" ) %$ ) $& ) %’ $’ ( $’ &’ ) %’ $’ ( ’’ &’ 。 又如图 ! " # " *+ 所示，已知侧平线 !" 上点 # 的正投影 $&，求作其水平投影 $ 时，可先求出直线 !" 的侧面投影后，再求点 # 的水平投影，但运用定比关系来确更 为简便。图 ! " # " *+ 中，自 % 画一任意辅助线 %&+，取 %(+ ) %& $& ，() &) ) $& &&，连 &&,， 作 (, $!&&, 交 %& 于 $，即为所求。 图 ! " # " *+ 求直线上点的投影 图 ! " # " *# 两直线平行 （四）两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。 #- 两直线平行 空间两直线互相平行，其各组同面投影一定互相平行。如图 ! · $%. · 第一章 制图的基本技能与方法
第三篇机械制图 1-51所示,AB∥CD,则ab∥cd,ab∥c'd,ab"∥cd。 图3-1-52两直线不平行 图3-1-53两直线相交 反之,如果两直线的各组同面投影互相平行,则此两直线在空间一定互相平行 一般情况下,两直线只要有两组同面投影相交,且交点符合点的投影规律,即可 确定该两直线在空间一定相交。但当两直线中有一条为某一投影面的平行线时,则 要视两直线在该投影面上投影的交点,是否符合点的投影规律才能确定。如图3-1 54所示,CD为侧平线,两直线侧面投影的交点与另两投影面上的同面投影交点 不符合点的投影规律,所以两直线在空间不相交。 3.两直线交叉两直线既不平行又不相交,则两直线交叉(异面两直线) 交叉两直线的同面投影,可能有一组或两组互相平行,但第三组不可能互相平 行,如图3-1-52所示。交叉两直线的同面投影,可能有一组、两组或三组都相交, 但交点不符合点的投影规律,如图3-1-54所示 空间两直线交叉,其投影可能相交,交点是两直线上处于同一投射线上两个重影
! " ! #" 所示，!"!#$，则 %&!’(，%$ &$ !’$($ ，%% &% !’%(% 。 图 & ! " ! #’ 两直线不平行 图 & ! " ! #& 两直线相交 反之，如果两直线的各组同面投影互相平行，则此两直线在空间一定互相平行。 一般情况下，两直线只要有两组同面投影相交，且交点符合点的投影规律，即可 确定该两直线在空间一定相交。但当两直线中有一条为某一投影面的平行线时，则 要视两直线在该投影面上投影的交点，是否符合点的投影规律才能确定。如图 & ! " ! #( 所示，#$ 为侧平线，两直线侧面投影的交点与另两投影面上的同面投影交点， 不符合点的投影规律，所以两直线在空间不相交。 &) 两直线交叉 两直线既不平行又不相交，则两直线交叉（异面两直线）。 交叉两直线的同面投影，可能有一组或两组互相平行，但第三组不可能互相平 行，如图 & ! " ! #’ 所示。交叉两直线的同面投影，可能有一组、两组或三组都相交， 但交点不符合点的投影规律，如图 & ! " ! #( 所示。 空间两直线交叉，其投影可能相交，交点是两直线上处于同一投射线上两个重影 · (+* · 第三篇 机械制图
第一章制图的基本技能与方法 点的投影。图3-1-55中,ab与cd的交点,实际上是AB上的点I与CD上的点Ⅱ 这一对重影点在H面上的重合投影。由于z1>z,故从上往下投射,点I可见,点 Ⅱ为不可见。同理a'b与c'd的交点4(3),是AB上的点Ⅲ和CD上的点Ⅳ在V面 上的重合投影,由于Ym<Yw,故从前往后投射,点Ⅳ可见,点Ⅲ为不可见 两直线不相交 图3-1-55两直线交叉 图3-1-56垂直相交两直线的投影
点的投影。图 ! " # " $$ 中，!" 与 #$ 的交点，实际上是 %& 上的点!与 ’( 上的点" 这一对重影点在 ) 面上的重合投影。由于 *! % *"，故从上往下投射，点!可见，点 "为不可见。同理 !& "&与 #&$& 的交点 ’（& !&），是 %& 上的点#和 ’( 上的点$在 + 面 上的重合投影，由于 ,# ( ,$，故从前往后投射，点$可见，点#为不可见。 图 ! " # " $’ 两直线不相交 图 ! " # " $$ 两直线交叉 图 ! " # " $) 垂直相交两直线的投影 · ’*# · 第一章 制图的基本技能与方法
第三篇机械制图 4.两直线垂直相交两直线垂直相交,若其中有一条直线平行于某一投影面,则 此两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 如图3-1-56所示,AB⊥BC,AB∥H面,BC倾斜于H面。因AB⊥BC,AB⊥ Bb,故AB⊥平面BbC;又因AB∥H面,则AB∥ab,故ab⊥平面BbC,所以ab⊥be 反之,若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直,且其中有一条直线平行于 该投影面时,则此两直线在空间也一定互相垂直。 应当指出,两直线交叉垂直,若其中有一条直线平行于某一投影面,其投影也具 有上述特性 例如图3-1-57a所示,已知长方形ABCD中AB边的正面投影a'b'∥OX,完 成长方形的另两投影 分析:长方形相邻边是互相垂直的,因为ab∥OX,可知AB是水平线,则ab⊥ bc,据此即可完成长方形的投影。 作图: 1)由b作垂直于be的直线,与过a’的铅垂线相交于a(图3-1-57)。 2)过a和a分别作直线平行bc和bc,再过c和c分别作直线平行于a'b'和 便得到长方形的投影(图3-1-57)。 b 图3-1-57作长方形ABCD的投影 、平面的投影 (一)平面的表示法及其投影 在投影上表示平面,有两种方法 1.用几何元素表示平面 从几何学可知,不在同一直线上的三点、一直线和直线外的一点、两平行直线、两 相交直线、任意平面形(即平面的有限部分)可以确定一个平面。在投影上,可以用它 们中任何一种几何元素的投影来表示平面(3-1-58)。 492
!" 两直线垂直相交 两直线垂直相交，若其中有一条直线平行于某一投影面，则 此两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。 如图 # $ % $ &’ 所示，!"! "#，!"" $ 面，"# 倾斜于 $ 面。因 !"! "#，!"! "%，故 !"!平面 "%&#；又因 !""$ 面，则 !""’%，故 ’%!平面 "%&#，所以 ’%!%&。 反之，若相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，且其中有一条直线平行于 该投影面时，则此两直线在空间也一定互相垂直。 应当指出，两直线交叉垂直，若其中有一条直线平行于某一投影面，其投影也具 有上述特性。 例 如图 # $ % $ &() 所示，已知长方形 !"#( 中 !" 边的正面投影 ’* %* " )*，完 成长方形的另两投影。 分析：长方形相邻边是互相垂直的，因为 ’* %* " )*，可知 !" 是水平线，则 ’%! %&，据此即可完成长方形的投影。 作图： %）由 % 作垂直于 %& 的直线，与过 ’*的铅垂线相交于 ’ （图 # $ % $ &(）。 +）过 ’*和 ’ 分别作直线平行 %*&* 和 %&，再过 &*和 & 分别作直线平行于 ’* %* 和 ’%， 便得到长方形的投影（图 # $ % $ &(）。 图 # $ % $ &( 作长方形 !"#( 的投影 三、平面的投影 （一）平面的表示法及其投影 在投影上表示平面，有两种方法。 %" 用几何元素表示平面 从几何学可知，不在同一直线上的三点、一直线和直线外的一点、两平行直线、两 相交直线、任意平面形（即平面的有限部分）可以确定一个平面。在投影上，可以用它 们中任何一种几何元素的投影来表示平面（# $ % $ &,）。 · !-+ · 第三篇 机械制图
第一章制图的基本技能与方法 本书所讨论的平面,多指组成物体表面的任意平面形。常见的是纯直线段围成 的多边形,圆或圆弧与直线段围成的平面形。 平面形的投影一般仍为平面形,特殊时为直线段。作图时,先画出平面形各顶点 (或曲线轮廊线上的主要点)的投影,然后将各点同面投影依次连线,即得平面形投 影。如图3-1-59所示,先作出三棱锥侧面△SAB的三个顶点的三面投影,然后连 接各顶点的同面投影,即得△SAB的三面投影 d) e) 图3-1-58几何元素表示平面 2.用迹线表示平面 平面和投影面的交线称为平面的迹线。如图3-1-60所示,P、Py、Pw分别表 示平面P与H、VW面的交线。Px、Py、P2z分别表示平面P与OX、OY、OZ轴的交 点 人 图3-1-59三棱锥侧面的投影 平面也可以用它的迹线来表示。平面迹线是平面与投影面的共有线,所以,迹线 在该投影面上的投影与它本身重合,另两投影与相应投影轴重合。通常只画并注出 493
本书所讨论的平面，多指组成物体表面的任意平面形。常见的是纯直线段围成 的多边形，圆或圆弧与直线段围成的平面形。 平面形的投影一般仍为平面形，特殊时为直线段。作图时，先画出平面形各顶点 （或曲线轮廊线上的主要点）的投影，然后将各点同面投影依次连线，即得平面形投 影。如图 ! " # " $% 所示，先作出三棱锥侧面!!"# 的三个顶点的三面投影，然后连 接各顶点的同面投影，即得!!"# 的三面投影。 图 ! " # " $& 几何元素表示平面 ’( 用迹线表示平面 平面和投影面的交线称为平面的迹线。如图 ! " # " )* 所示，$%、$&、$’ 分别表 示平面 $ 与 %、(、’ 面的交线。$)、$&、$* 分别表示平面 $ 与 +)、+&、+* 轴的交 点。 图 ! " # " $% 三棱锥侧面的投影 平面也可以用它的迹线来表示。平面迹线是平面与投影面的共有线，所以，迹线 在该投影面上的投影与它本身重合，另两投影与相应投影轴重合。通常只画并注出 · +%! · 第一章 制图的基本技能与方法