第二章优化设计的数学基础 在前一1“优化设计概述中,我们可以看到,机械优化设计题-般是线性规:间问 题,实质上是多元线性函数的小化间题。由此可见,机优化设计是建立在多元函数的 极值理论基难上的无约优化题就是数学上无条件极值问题,而的束优问题则是数 学上的条件极值问题款分学中所份究的极值问题仅限于等式条件极值,很少涉及优《化设计 中圣常出现的不等式条件极值.为了便号以后子章所到举化方法,有必要先对极值 理论作强路地研究本章重点讨论等式约束优化问题的极值条件等式约束化问题级 值条件。 第一节多元函数的方向导数与度 加导数 我们知道,一个二元函数(1在1(1)点处的偏数,定义是 ld 称它为淡函数沿2方的方间号数,偏 2,也可看系减(3 别沿22坐标方的方问手数所以方间数是保数念的指广偏数是方内联款 方向导数偏号数之间的数1量关系,可从下导中求得 x++-m +22 0+0
排,一个二元函数(1在处方的方 如2-2,可类地表示成下面的形式 图21三维空间中的方向 依地类,1到:元数1::)在点处沿d方方问导数 其中0c4方坐3:方之间来角的余弦 二元函数的梯度 考虎到二元函数具有鲜明的几付解并可以象征纸性地把这种解释广到多元函数中 去所度念你引数数2x点处的方5 的表达可写成下面的形子 flag) 并称它力函款(2)在点处的嫁度
为d方向单位向量,则有 ld vro)'d 数(1在处等在的数y 与d方向单位量的内在这里,我们可以把量之间的内积9成量之间投影形式 其中1V()代表梯量表度量角的 在点处函数浒各方向的方导数是不同它随0.变,即隆所取方问的不同面 数化其大值生在12度方重合时英值最大 可见梯度方是画数值变化最的方间,面梯的模没足函数变化率的最大值 当在x2面内画出f(2的等值 (系到数时:39看出,在x处等 速升 值线的切线方向是函数变化率为零的方向,甲 上升方向 戴下降崩间 计:a 向 变率方零的 所以6d0 可知截度有 技的值线款28 为函数变化率最大方向,也就是最这上开方问 度-V4方问为函数变化取最小值方问,即最速下降方向与度成没角的方的为 函数上升方向,与负梯度成锐角的方向为函数下降方 8:182:5(065化 率最大约方间和数值 由于函数已车最用单去标函数最大 数值是楼度的模1V求1在4点处的楼度方数值计算虾下 n12x1 阴(x)= Vilro)I 4+-2:23
在2+平面上画出数等值线30点处的梯方24所乐从图中可以看 出,在点函数变化率最大方间1甲为等值线的法线方间也就是同心的半径方 三、元函数的梯度 将二元函相广鸦多元数,0时101:4处的 度好(2,定义为 x0)=a 时于(:在处的方问号数可 图4度计算示 为方上约单位向量 为梯度()模 为株方单位量,函等值8惠也 就是和特等值面上过2的-曲线25所525横度加门等值的关系 第二节多元函数的展开 多元数的素有(开在优法中分重要并多方法及其收性明都是
元函数(在=点处的来展开为 11+c+2+ 其2=(- 二元致f(,)在211)处的式为 12(,0 将上述展开写成矩阵形式,有 afaf d可 f4++6 G三 的二阶偏导数所组成的方阵由于函数的一次连埃性,有 所以G(4)矩阵为对称阵 21求二元函数 f1+-2+5 在,点处的工阶求式 解二阶素载展开式为 将x的具体数值代人,有