上黑体字”付代表零的量 r1-1 1-2 01x 此图数的图像是以点点的)物如26际 将二元函致数的萄限开式广到多元函圣款时,则x12 )在x点处素开式的矩阵式为 其中 Vf(x) 为函数f()在1点处的度 2. 6动 高是 为涵数()在项点处的海矩 若将函数的泰勒展开式只取到发性项,即取 则:()是过点和图数款(2.所代表的超曲面相切平面 终载的展开式取到项时得到一水数(化计算经把际数 示成二次数以使问题的分折得以简化在线性代数中将二次齐次函数称作一次型,期矩 )=r
式G—对称范阵。 在优计算中,某点用近的还数值用素载限开式表进时,哥究该点邻城的般 值问题需要份析二次型函数是否正定当对任何量:使 则二次型柔数正定,G为工定矩 第二节无约束优化题的极值务件 无约束优化问题是使日函数取得极小值,所谓极值条件就是指日函数取得极小值 极值点所应满足的条什 我们知道,对于可微的元图数(,在2定间内某点x=处取得极值其要条 件是 即函数的极值必须在点处取等鸡条件是必要的,但不充分,也就是说点不定就是投级 值点,检庄是值6用号来112 若f()(0,校大(2:1是为值,还需逐欢验其更高阶数 的号开不为零数数0点若奇…为点不漫数值点 对于二元数10点处取得值,.2要条件是 为了断从上述要条法得的2是否是极值点,需要建立极值的克分条。根元图 数(n2在x处的萄限开式,考虑上极值必要条,有 山,行 x2212.+ 若(121在1点处取得6值,则要求在2x点附的-0点均须满足 即要求 (A8+C.1A> A>0.AC-B>
2 此条什映了12在点处的海矩阵6(4)的各阶主子均大于零,即对于 所以,二元函数在某点处取得极值的充条件是要求在该点处的海赛矩阵为正定。 23戴1)=+2+5的校值 解首先,根据值的必要条什求驻点 得驻点为 再根极值的充分条件,判断生点是否为极值点。:于 64) G动)的-阶主式 阶土子式 大于答(2)正矩阵。 为极小点,应时极值为
对于多元数x14,若在点处取得值,则被值的要条为 並yf 极值的充分条件为 Gr l21) BB。 即要求G(r)的下列阶主子式均大零 02 Glr)> 般说来,多元数的极值条件在优化方法中仅果有理论意义因为时于复的日标函 数,海赛矩阵不易求得,它的正定性就更度判定了 第四节凸集、凸函数与已规划 根器还数值条件所确定的极小点,是指图数(:1的1:均满足等 f)>r) 以称系数(:在处取得同部极值称:局小点:有时在同部小值部 小点前还加上项”二字,以区删别于满足等式)()2的情因此,根据函数 值条件所魔定的小点只是反映函数在’阳近的同即性质。 优化题-般是要求日标送在某区城内的最小点,2就是要求全局极点。改数的
局部极小点并不一定就是全局极小点,只有函数具省某种性质时,二老才等同。因此对同部 极小和全局小之间的关系应该件进-步的说 打于这个问题,从一元函数物情况可以得到启发。设 f)定在区间)上的一元函款如果它的图形是 下的,图2中容看出它的极点同时也是函数 间,上的最点们称这样的图有凸 生:如果(果有号数,图数间 下凸,这说期函数的性可由二酚号数的符号来断 先多元函数f)已,需要首先明函数定x减所 应具有的性质,所以先介绍已集的念 图21下的-元函数 凸集 点集(区城,如果连结其中任意两点x和2:的线股都全饱包含在该美合内, 称点集集,否则书集,如图28 所后凸集的概念可以用数学的话言简练 地表加果时02∈R2∈R及 -奶足0<a≤1的实数,点x+01 R集合为集集 间中的维间也是凸集例如三维间 中的平面 凸集具有以下性质 若A是个集是-个实是84线4美 凸集中2点1∈A,则集合 还是集￥2.029中图所不 图29美的性质 若A和B是凸集,、b分别是凸集,B中的动点,a,∈E,则集合 A+B=1x:x=+t∈A∈B 还是“集。 付-组集的交集是凸集。这二个生质如图29所示 数(如连结集定义减内任0两点21线段上,函数值总小于球等于