内积空间V中Gram矩阵是单位阵的基称为标准正交基。 定义 设(V(--)是一个内积空间,若可1,2,…,Cn是V中的相互正交 的非零向量组,则称1,02,,n是一个正交向量组;正交向量组若 构成V的基,则称为正交基;一组正交基中若每个向量都是单位长 度,则称为一组标准正交基。 容易看到,一组基是校准正交基的充分必要条件是它的Gram矩阵是 单位矩阵。 若v1,2,,n是V的一组标准正交 基,x=x101+…+xnOn,y=y11+…+yn2vn,则 (xy)=x1+…+mxn=(xls,ylus)。 正交组在内积空间中有很优点,在计算一个向量的表示系数时,不用 再去解一个线性方程组。这在下面的命题中可以看到
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈL«ÚÄ SÈm V ¥ Gram Ý ´ü Ä¡IOÄ" ½Â (V,(−, −)) ´SÈm§e v1 , v2, . . . , vn ´ V ¥p "þ|§K¡ v1, v2, . . . , vn ´þ|¶þ|e ¤ V ħK¡Ä¶|Ä¥ezþÑ´ü ݧK¡|IOÄ" N´w§|Ä´OÄ¿©7^´§ Gram Ý ´ ü Ý " ~ e v1, v2, . . . , vn ´ V |IO ħx = x1v1 + · · · + xnvn§y = y1v1 + · · · + ynvn§K (x, y) = y1x1 + · · · + ynxn = ([x] v ′ s , [y] v ′s ) " |3SÈm¥ké`:§3OþL«Xê§Ø^ 2)5§|"ù3e¡·K¥±w"
设V是一个内积空间,U,2,,n是V中的正交向量组,∈V。则 1,02,…,Cn必线性无关,n≤dimV: ⊙若可由a1,2,…,线性表出,则必有=Prc(12,n)2,其中 Pr (v,1) 2 2+·+ ,n) C(1,2…-n 1,01)(乙2,02 称Prc(a1A2)0为在,2…生成的子空间上的投影 ⊥C(,,…,Cn), C(a1,2x…,n) o|P=|p-Peo.3°7+|i rc(na2灬,n)叫。 最后一个结论称为 Bessel不等式,该不等式在 Fourier级数展开中有具体 应用,也是最小二乘法的理论依据
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈL«ÚÄ ·K V ´SÈm§v1 , v2, . . . , vn ´ V ¥þ|§v ∈ V"K 1 v1 , v2, . . . , vn 75Ã'§n ≤ dim V¶ 2 e v d v1 , v2, . . . , vn 5LѧK7k v = PrL(v1,v2,...,vn) v§Ù¥ Pr L(v1,v2,...,vn) v = (v, v1) (v1 , v1) v1 + (v, v2) (v2, v2) v2 + · · · + (v, vn) (vn, vn) vn ¡ PrL(v1,v2,...,vn) v v 3 v1 , v2, . . . , vn )¤fmþÝK¶ 3 v − Pr L(v1,v2,...,vn) v ! ⊥ L (v1 , v2, . . . , vn) § 4 kvk 2 = v − PrL(v1,v2,...,vn) v 2 + PrL(v1,v2,...,vn) v 2 ≥ PrL(v1,v2,...,vn) v 2 " (Ø¡ Bessel Ø ª§TØ ª3Fourier ?êÐm¥käN A^§´¦{nØâ"