定义 设(V(-,-)为一个内积空间,且a∈V,非负实数√a,a)称为a的长度 (范数),记为 Jall =v(a, a). 若β∈V,则定义a、β之间的距离 d(a,B)=‖B-al‖ 当V为实内积空间时,定义a、β之间的夹角(a,B)由下式得出 当(a,B)=0时,称a、β正交(垂直)。 这里有个约定,当a或β中有一个为零时,(,β)可以是任意值
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ½Â (V,(−, −)) SÈm§ α ∈ V§K¢ê p (α, α) ¡ α Ý £ê¤§P kak = q (α, α)" e β ∈ V§K½Â α!β mål d (α, β) = kβ − αk ¶ V ¢SÈm§½Â α!β mY([α, β) deªÑ cos ([α, β) = (α, β) kαk · kβk ¶ (α, β) = 0 §¡ α!β £R¤" ùpk½§ α ½ β ¥k"§([α, β) ±´?¿"
向量的长度有以下性质: 定理 设(V(一,-)为内积空间,a,B∈V,k是定义数域中的数,则 Q齐次性:‖ka‖=|k‖ll e Cauchy-Schwartz不等式:‖(a,)川≤‖l‖‖f 0三角不等式:‖a+聞≤‖al‖+‖F 当a、β正交 时,‖a+|2=(a,a)+(B,B)+(a,B)+(B,a)=|l2+|F{2,这个 结论称为勾股定理
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg þÝk±e5µ ½n (V,(−, −)) SÈm§α, β ∈ V§k ´½Âê¥ê§K 1 àg5µkkαk = |k| kαk¶ 2 Cauchy-Schwartz Ø ªµk(α, β)k ≤ kαk kβk¶ 3 nØ ªµkα + βk ≤ kαk + kβk" α!β §kα + βk 2 = (α, α) + (β, β) + (α, β) + (β, α) = kαk 2 + kβk 2§ù (Ø¡½n"
Cauchy-Schwartz不等式‖(a,B川‖≤‖l‖f在不同空间中的体现 ③对于R”,标准内积下 nb2+ah+…+ahl≤V+吗+…+V++…+ eCab下 1 /a)()2()2
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈmVg ~ Cauchy-Schwartz Ø ª k(α, β)k ≤ kαk kβk 3ØÓm¥Nyµ 1 éu Rn§IOSÈe |a1b1 + a2b2 + · · · + anbn| ≤ q a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n q b 2 1 + b 2 2 + · · · + b 2 n¶ 2 C [a, b] e Z b a f(x)g(x)dx ≤ Z b a f 2 (x)dx 1 2 Z b a g 2 (x)dx 1 2 "
设V是一个n维内积空间,在V中取一组基1,四2,…,n,对于V中任意 两个向量 a=a1a1+a22+…+anmB=b1a1+b22+…+bncn 由内积的性质得 (a,B)=(a101+a2+…+anm,b101+b22+…+bhnn =∑∑(,) (v1,1)(1,v2 (v1,n))/b1 (v,1)(,2 (2,vn)b2 =(a1,a2,…,an) (On, u1)(Un, u2)..(Un, Un)/\b, 01, Un (v,1)(v2,02) 称G(v1,2,…,n) 为内积空 (on, D1)(On, 02) 间(V(-,-)的基向量的Gram矩阵
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈL«ÚÄ V ´ n SÈm§3 V ¥|Ä v1 , v2, . . . , vn§éu V ¥?¿ üþ α = a1v1 + a2v2 + · · · + anvn, β = b1v1 + b2v2 + · · · + bnvn, dSÈ5 (α, β) = ha1v1 + a2v2 + · · · + anvn, b1v1 + b2v2 + · · · + bnvni = n ∑ i=1 n ∑ j=1 (vi , vj )aibj = (a1 , a2, . . . , an) (v1 , v1) (v1 , v2) · · · (v1 , vn) (v2, v1) (v2, v2) · · · (v2, vn) . . . . . . . . . . . . (vn, v1) (vn, v2) · · · (vn, vn) b1 b2 . . . bn ¡ G (v1 , v2, . . . , vn) = (v1 , v1) (v1 , v2) · · · (v1 , vn) (v2, v1) (v2, v2) · · · (v2, vn) . . . . . . . . . . . . (vn, v1) (vn, v2) · · · (vn, vn) SÈ m (V,(−, −)) ÄþGram Ý "
当V是实内积空间时,对任意的非零(x1,x2,……,xn)∈R,如果 取a=x101+x202+……+xnUn,则由内积的正定性、对称性知道 (x1,x2,xn)G(1,02…,n)(x1,x2…,xn)>0 且G(U1,,…,n)为一个实对称阵。这样的矩阵称为正定矩阵。这 是二次型一章中重点讨论的矩阵 如果u1,l2, 是空间V的另一组基,且 从1,02……,1到u1,l2…,ln的过渡矩阵为P,形式上 (u1,2,…,ln)=( 则由内积的左侧线性(右侧共轭线性),可知 G(u1,l2,…,n)=PG(1,02,……,n)b, 这样的复矩阵的关系,在后面的章节中称为合同关系。对实方阵而 言,两个同阶对称阵A、B,如果存在一个可逆同阶方阵P,使 得PAP=B,则称A与B合同。关于合同关系,我们将以后面的章 节中详细讨论
p ê£þ°½°¬§§<µÁ§mazhusl@fudan.edu.cn ¤ 1ÊÙSÈm SÈL«ÚÄ V ´¢SÈm§é?¿" (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn§XJ α = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn§KdSȽ5!é¡5§ (x1, x2, . . . , xn) G (v1, v2, . . . , vn) (x1, x2, . . . , xn) ′ > 0 G (v1, v2, . . . , vn) ¢é¡ "ùÝ ¡½Ý "ù ´g.Ù¥:?ØÝ " XJ u1, u2, · · · , un ´m V ,|ħ l v1, v2, · · · , vn u1, u2, · · · , un LÞÝ P§/ªþ (u1 , u2, · · · , un) = (v1 , v2, · · · , vn)P KdSÈý5£mýÝ5¤§µ G (u1 , u2, . . . , un) = P ′G (v1 , v2, . . . , vn) P§ ùEÝ 'X§3¡Ù!¥¡ÜÓ'X"é¢ ó§üÓ é¡ A!B§XJ3_Ó P§¦ P ′AP = B§K¡ A BÜÓ"'uÜÓ'X§·ò±¡Ù !¥[?Ø"