22 电力系统继电保护原理及新技术 数即在数宁滤波器的输出信号中，频率为万的分量数值最大。所以，若要求提取 输入信号中频率为：的信号分量时，则数字滤波器应该设置一个脉冲传递函数极 点d2='。但是，为了保证数字滤波器工作的稳定性，要求该极点的幅值必须 小于1，即r<1。因为当r=1时滤波器脉冲传递函数分母可能为零而使滤波器 无稳定输出。 (3)琴点和极点对数字滤波器颜率特性的影响 对于N阶时不变的数字滤波器，式(216)可以用差分方程来描述 y(n)=b:r(n-)∑a41y[n-(k+1)门(k-0,1,2,…,N) (2-30) 在零初始条件下，对式(230)两边牧：变换，得到数字滤波券的脉种传递函数 (>bx） H)=12a (k=0,1,2,…,N) (2-31) 对式(23引)的分子和分母多项式进行因式分解，写成 H()=AI1-6)7 LT1(1-d4e1)万 =AT(:-) (-a,) (克=1,2，…，N) (2-32) 式中：A为常数：G为H(z)的零点：d为H()的极点。 为了表达方便起见，以w=2π来丧示频率，令：=，于是数字滤波器的频 率特性表达式为 「II(e-s) H(er)=AT(e-d】 (k=1,2.…,N)(2-33) 如图213所示，在乙平面上，-4可以用从零点指向单位幽上的点。产 的向量C来表示： C4二gr-c=1C.le (2-34) 同理，-d可以用从极点d拆向单位圆上的e心T的向量D,来表示 D.=et-d =De (2-35)
第二空做型计第机继电保护的数字后号基础 23 将式(2-35)和式(2-34)代人式(233)，得 )=a61g (k三1,2，…，N) (2-36) 所以，数字滤波器的幅频特性和相频特性的表达式为 H(e)=ATD. 「111Cs门 (k=1,2,…,N) (2-37) p(e)=之a4-≥g(k1,2.…,N) (2-38) 这样，数字滤波器频率特性的辐频特性和相频特性就可以用从零点和极点指 向单位圆上的点x=e构成的向苹的幅值来确定。当w从0变化到2π时，这些 向量沿者单位圆反时针方向旋转一一周。据此可以估算出数字滤波器的频率特性。 从辐频特性和相特性的表达式可以看出，脉冲传递函数的零点和极点对数 宁滤波器频率特性的幅频特性影响如！下： )当频率等于一个特定朔室f时，仙=2j,极点d:距离单位圆上的点 T较近时，向量D,的幅值为最小，频率特性H()的幅值将出现峰值，而且 极点d,越靠近单位圆上的点？时，D,的值就越小，期率特性H()的幅值 就越尖锐。但是，从确保数字滤波器的稳定性出发，极点4，越靠近单位圆上的点 时，数字滤波器的稳定裕度越小，特别是当d1与e重合时，数学滤波器将 出现谐振，此时数字滤被器处于临界稳定状态；当极点山，在单位圆外时，数字滤 波器将厂作在不稳定状态，如图213所示。 2)当在某-特定频率(2=2πf:时，零点c2距离单位圆上的点'较近 时，向量c2较短，特别是在c2=e户「时，c2的搁值为零，这时，数字滤波器的频率 特性的幅值为零。零点在Z平面上的位置对数字滤波器的稳定性无影响。 平面 (bi 图2-3器S平面和乙平面的定性示意倒
24 电力系统继电保护原理及新技术 例23图214所示为离散控制系 + ·心统方框图。试分析其稳定性，其中采样周 期T=18,K=1,H(s)=1。 H 解先求出系统的脉冲传递函数此 时2-14离破控利系统方糇图 为闭环控制系统，其脉冲传递函数表达式 为 G.()=8=1+鼎a G(z】 因为 G(-G] H(5）=1 所以 GH(2)=Z[G(s)H(s)] =k[(:千D(z-e川 (1-e1) ak-i.(xe可 G(z)=Z[G(s)]=GH(z) 所以 G.(z)=T+G2 G(z) K(1-e) =2-1(2-2)+K1-巧 闭环系统的特征方程为 (z-1(x-e)+Kz(1-e')=0 当K=1时，有 z2-0.736x+0.368=0
第二草微型计其机继电保护的数字信号基础 25 解得 1=0.368+j0.482. 22=0.368-0.48 由于|：=|2<1，即系统的两个特征根都位于Z平面的单位圆内，所以系 统稳定。 2.2.2数字滤波器的主要性能指标 【.频浅性能指标 从连续时间系统滤波器的单位冲激响应h(:)中，通过h(:)进行采样并对采 样信号进行之变换得到H(),然后对H(z)表达式中的之用：=表示就得到 数字滤波器的颊率特性表达式： H(2)=H()=H(e)e) (2-39) 式中，T为采样周期，=2πf是角频率。H(e)川称为瓶频特性，(aT)称为相 频特性。 从须率特性的物理意义我们可知：幅频特性是数字滤波器对输人电气量中不 同频竿分量幅值的放大倍数；相频特性则是数字滤波器对不同频率的输人信号分 维相角的移动量。在微机继电保护稳态算法中，只需用输人电压和电流量中的基 波或某一次谐波分量的幅值和相角。数字滤波器对于不同频率的输人信号分量相 值的放大倍数和相位移动角度虽然不同，但是对于输入信号的某一谐被频率分昼 而言，不论是电压量还是电流量，幅值的放大倍数和相位移动角是相同的。这说明 了在某-一谐波獭率下，数字滤波器的输出量并未改变其输入电压和电流量的幅值 之比和相角之差。故此数字泷波器的频率特性并未改变其输人电压和电流量各次 谐波分量的关系特征。 2.响应时间和计算量 1)响应时间。数字滤波器在输人信号作用下，其输出响应需要经历一个暂态 过程才能达到一个稳态的箱出，这个暂态过程所需要的时间称为数字滤波器的响 应时间。数字滤波器的响应时间表现为其对输入信号的一种延时特性。响应时间 通常用T来表示。 2)时间偷。在实际「作中，实时的数字滤波器通常是在每次采样后的采样何 隔期间完成一次运算并输出一个采样值。那么，在每一次运算时所要用到的输入 信号最早采样值时刻和最晚采样值时刻，两者之间的时间跨度称为数字滤波器的 时间窗，用Tw来表示。 数字滤波器的响应时间T。与数字滤波器的设计结构有直接的关系。例如， 如果单纯地依靠输人信号的采样值序列，计算滤波器在每一个采样时刻输出值的
1- 26 电力系统继电保护原理及新技术 片通归滤器，所需要的输人数据时间窗门比较长。通常用数字滤波器的时间窗 Tw作为数字滤波然的响应时间T 3)数据窗。数字滤波器元成每一一次运算，输出一个采样值，所需要的输入信 号采样值的个数，称为数字滤波器的数据窗。 为了减小输人信号采样值的个数，结合当前采样时刻数字滤波器的输出值一 起运算。这就是递归型数字滤波器，这样在-一定程度上能减小数字滤波器的响应 时间。 4)计算量。数字滤波器的计算量主要是指数字滤波器完成一次运算所用到 的乘法和除法的次数。 2.2.3用脉冲传递函数的零点和极点配置法设计数字滤波器 数宁滤波器的设计方法较多，根据不同的已知条件和要求，其设计方法也不尽 相同。这里介绍常用的传递函数零点和极点的配置方法。 1.零点和极点的配置方法 为了确保数字滤波器算法对应的差分方程中各系数都是实数，要求数字滤波 器的琳冲传递函数H(:)的零点和极点必须以共钷的形式成对地出现：同时，从保 证数字滤波器的稳定性考虑，要求脉冲传递函数的极点的幅值必须小于1，即极点 必须位于艺平面的单位圆内。对于零点的幅值的选择，虽然不受稳定性的限制， 但是从提高滤波效果来肴，则要求把零点设置在单位圆上。 数字滤波器脉冲传递函数H(:)的零点，极点的配置方法及其滤被效果如下： 1)如果在Z平面的单位侧上，若∫=人，时，在c=+24处置一对共扼复零 点，那么数宁滤波器的频率特性就会在∫=厂点出现零传输，数字滤菠器对输人 信号中频率天的分量起到滤除的作用。 2)如果在Z平面的单位圆内，在d=?24T处配置一对共轭复极点，那么数 字滤波器的频率特性就会在f-五点出现蜂值，而且r越接近于上，峰值就越尖 锐。数字滤波器对输入信号中频率为f2的分量具有提取的作用。 如果要求数字滤波器滤除输人信号中的第次谐波分量时，则应该在Z平面 上2=r以2~处设置零点(r>0,N为基被每周期的采样点数，N=1刂f,T,k= f片，T为采样周期，f为谐波频率，f:为基波频率)。当该点之=r是一个 复数时，为了使数字滤波器的时域差分方程中的系数都是实数，零点的配置应该为 一对共轭复数，因此在琳冲传递函数中的对应因子应设骨为 H(z)=(1-r2v之)(1-e2e1) =1-2rc0s(2kN)z1+r2z (2-40)