x+2,x≥0 例2讨论函数f(x)= 在x=0处的 x-2,x<0, 连续性 解lim∫(x)=lim(x+2)=2=f(0), limf(x)=lim(x-2)=-2*f(0), →0 x→>0 右连续但不左连续, 故函数f(x)在点x=0处不连续
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 = 处的 − + = x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 = + → + → + f x x x x = 2= f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 = − → − → − f x x x x = −2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x = 0处不连续
4连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数或者说函数在该区间上连续 如果函数在开区间(a,b内连续,并且在左端点 x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称 函数f(x)在闭区间|a,b上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如有理整函数在区间(-∞,+)内是连续的
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b = = 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理整函数在区间 (−,+)内是连续的
例3证明函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内连续 证任取x∈(-∞,+0), △y=sin(x+△x)-sinx=2sin △2 cos(x+ 2 △v △x ∴cos(x+ 2 ≤1,则△y≤2sin 2 对任意的a,当α≠Q时,有sina<α, 故4≤2sin<△x,∴当Ax→时,4→0 2 即函数y=sinx对任意x∈(-∞,+0)都是连续的
例 3 证明函数 y = sin x在区间(−,+)内连续. 证 任取 x (−,+), y = sin( x + x) − sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x + = ) 1, 2 cos( + x x . 2 2sin x y 则 对任意的 ,当 0时, 有sin , , 2 2sin x x y 故 当x → 0时,y → 0. 即函数 y = sin x对任意x(− ,+ )都是连续的
例4证明y=a2在(-∞,+0)内连续 证只须证明对vxn∈(-+0),有 lim a=a lim Ay=lim a xo+Ax Ax→>0 x→)0 lim aa-1 v→0 ∠v =a0lim(-1)= 0 Ax→>0 故y=a在∨x0∈(-∞,+∞)处连续
例4 证明 y = a x在(−,+)内连续 证 只须证明 对x0 (−,+)，有 0 0 lim x x x x a = a → lim lim[ ] 0 0 0 0 x x x x x y = a − a + → → lim [ 1] 0 0 = − → x x x a a lim ( 1) 0 0 = − → x x x a a = 0 故y = a x在x0 (−,+)处连续