D=[a1(-1)1+M14+a12(-1)1+2M2+ (1)MB|=|A||B|, 所以|A|为k阶时,(1.20)式成立,因此|A|为任意阶时,(1.20) 式都成立 (1.20)式可简记为 A 0 A|1B| B A|,|B如上所设,同样也有 A A||B|. (1.21) 0 B 但要注意 0 A ≠-lA||B| B 此时,可将|A|所在的每一列依次与其前面的m列还列对换(共对 换k×m次)使之化为〔1.20)式的形式,于是便有 a 0 关B -1)xm|A||B1.(1.22) B 1.3克莱姆( Cramer)法则 这一节讨论:n个未知量n个方程的线性方程组,在系数行列 式不等于零时的行列式解法,通常称为 Cramer法则;并进一步给 出n个未知量n个方程的线性齐次方程组有非零解的必要条件 定理 Cramer法则)设线性非齐次方程组 +…十 a2x1+a2x2+…+a2xn=b2, (1.23) b 22
〔或简记为∑a1,=b,=1,2,…,n) (1.24 其系数行列式 ≠0 则方程组(1.23)有唯一解 其中D是用常数项b1b2,…,b替换D中第j列所成的行列式, 即 1 lj 证先证(1.25)是方程组(1.23)的解,根据(1.26)式 D2=bA1+b2A2+…+bA,=∑bA, 其中A是系数行列式中元素a,的代数余子式 将x-DbA(=1,2,…,”)代入(124)式左端,得 6.A ∑a,Ab) . Ab b A 8Dk=i时,=1,k≠i时,δ (b,·1·D)=b2(=1,2 23
(其中*处等号成立的理由是,双重连加号求和次序可交换, 请参阅本章附录.) 所以(1.25)式中的x=D/D〔j=1,2,…n)满足方程组 (1.23)中的每一个方程,因此它是方程组(123)的解 再证(1.25)式是方程组(1.23)的解,设c1,c2,…,c是一组 解,则 a1c1+a12C2+ a21C1+aaCx十…+a2an=b2, b. 在上面n个等式两端,分别依次乘A1,A2,…An,然后再把这n 个等式的两端相加,得 Ci -t (∑aA, bA 上式左端cc2…,c,-1,c1+1cm的系数全为零,的系数为D,右 端∑bA,=D,因此Dx1=D,故 分别取j=1,2,…,n,这就证明了c1;c2,…,cn如果是解,它们也必 是D,D……D,于是方程组(1.23)的解的唯一性得证 由 Cramer法则,立即可得下面的推论1 推论1若齐次线性方程组 (1=1,2 的系数行列式D=1an1≠0,则方程组只有零解 24
0,(=1,2 由推论1又可得推论2 推论2齐次线性方程组 airu 0〔=1,2 有非零解的必要条件是系数行列式D=|a;|=0 在第3章中,我们将进一步证明,D=0也是齐次线性方程组 (1.23)有非零解的充分条件 用 Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元非齐次线性 方程组,需要计算n+1个n阶行列式,它的计算工作量很大,实 际上关于数字系数的线性方程组(包括系数行列式等于零及方程 个数和未知量个数不相同的线性方程组)的解法,一般都采用第2 章中介绍的高斯消元法, Cramer法则主要是在理论上具有重要 意义,特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系 例1已知三次曲线y=∫(x)=a+a1x+ax2+a3x3在四个 点x=士1,x=±2处的值为:(1)=f(-1)=f(2)=6,f(-2)= 6,试求其系数a0a1ya2,a3 解将三次曲线在4点处的值代入其方程,得到关于 a0;t1 a2,a3的非齐次线性方程组 ao a2+ ao+a1(-1)+a2(-1)2+a3(-1)3=6, a0+a1(2)+a2(2)2+a3(2)3=6, a0+a1(-2)+a2(-2)2+a3(-2) 它的系数行列式是 Vandermonde行列式 1(-1)2(-1)3 2 2(-2)2(-2)3
(-1-1)(2-1)(2-1)(2+1)(-2+1) (-2-2) 72. 于是,由 Cramer法则可得三次曲线方程的系数 a,=,j=0,1,2,3, 其中 6666 188 =-576, 61 61 188 72 111111111111 64 64 1 221 6666 188 144 6 2 44 6=-72 所以a0=8,a1=-1,a2=-2,a3=1,即所求的三次曲线方程为 f(x)=8 2x2+x3. 由上述解题过程可知:过n+1个x坐标不同的点(x,y),= 1,2,…,n+1,可以唯一地确定一个n次曲线的方程y=a+ax+ a2x2+…+anx 例2求四个平面ax+by+cz+d;=0(i=1,2,3,4)相交于 ·26