点的充分必要条件 解我们把平面方程写成 air by+c 其中t=1于是四个平面交于一点,即x,y,z,t的齐次线性方程组 十b1y+c1z+d1 a2+ by+crz +d2t=o a3+b3y+c3a+d3t=o ar+by +c4a+dst=0 有唯一的一组非零解(x0,y,20,1),根据齐次线性方程组有非零 解的必要充分条件(充分性以后将证明)是系数行列式等于零,即 得四平面相交于一点的充分必要条件为 a, b d b 2 d 附录性质1的证明双重连加号 I.性质1的证明 证明 证对行列式的阶数作数学归纳法,将等式两端的行列式分 别记作D和D 当n=2时,D=D显然成立,假设结论对小于n阶的行列式 都成立,下面考n阶的情况:根据定义 D 1A1+a12412+…+
D=a1A1+a21421+…+an1A 由于D中a1的余子式Mt(n-1阶行列式)行与列互换就是D 中a1的余子式M1,所以根据归纳假设得A'1=A1于是 a 2 a a12a22 n2 413a2343··n3 +…+(-1)1+an 为了证明D=D,我们要将上式右端(n-1)个n-1阶行列式展 开,以便证明上式后(n-1)项等于a12A12+…a1n41,为此,根据 归纳假设可直接按第一列展开,得到 33 D A1+{(-1) 0 a 0 (-1)2+3a12(-1) 4230a4 a20a4
+(-1)a2(-1)2/a2 0 0 +〈(-1)+2a13(-1)1+2 0a32 0 a a +(-1)+3a13(-1)1t2(-1) 2 …+(-1)+2a23(-1)1+(-1)-2/aean 421 0 +…+(-1)1+2a1(-1)+1/0 32 0 (-1)4+3a1n(-1)1+-1(-1) ……"……"……………
0 (-1)1a1n(-1)1+-1(-1) 0 21 A11+(-1)1 a2333 即甲p看 DadD血pp 2 22 12 (-1) 21 n +…十(-1) 根据归纳假设,将土面n-1个n-1阶行列式的行与列互换,就证 明了 A1+a12A12+a13A13+…+a1nA 性质2的证明 证明aaA1+a2A2+…+anA =a11A1+a12A1 十a1A1n(i=2,3 证用类似于性质I的证明方法,读者不难证明上式对任意 的i(2≤i≤n)都成立 Ⅱ.关于双重连加号“∑∑” 对于n个数连加的式子 30
a1十a2十…+a 为了简便起见我们可用连加号∑,把它记作以a 例如 ∑=12+2+…+n2, 其中称为求和指标,它只起辅助作用因为把∑φ还原成n个 数的平方和,不再现出所以12+21+…+n2也可记作∑产,因 此求和指标是可以任意选择的 有时连加的数是用两个指标来编号的,例如m×n个数排成 m行n列 112 l;"a1 21a22a2j" 2 d甲看导D1 求它们的和数S.可以先把第i行的n个数相加记作S:=∑a (称为对j指标求和),然后把m个行的和数S1S2,…,Sm相加,记 作 同样也可以先把第j列的m个数相加记作S=∑a(称为对 指标求和).再把n个列的和数S'1,S2,…,S′,相加,记作 S′ 1; 31