a t2 (a≠x,i=1,2,3,4) 解将第1列乘(-1)加到其余各列,得 0 0 0 0 再将第i行乘(x1-a)/(x;-a)(i=2,3,4)加到第一行,得 r,+ 0 )〔 )(x-a) (x1-a)(x2 ( a)cx 1 其中Ⅱ(x;-a)表示连乘积即(x1-a)(x2-a)(x3-a)(x4 例8计算n阶二对角行列式 17
a+s ap a t B a 1 +P 解法1:把D按第一行展开,得 0 a+ B D =(a+ P)D,-1-ap 1. a+ aB …1a+Pn-1阶 =(a+)D-;-aDn-2, 把这个递推公式改写成 D P(D D-2) 继续用递推公式①递推下去,即得 D-aD B2(D aD-3) D1) 而 D2 =(a+ B 3,D 故 D P. 将n分别用n,n-1,n-2,…2代入上式得到 D D 一aD,2 aD 2 把这些等式两端分别用1,a,a2,…,"2相乘,然后再将它们相加, 得到 D-a-1D1=P+aP-1.+a2 18
把D1=a+B代入并移项,得 D.=B+aP-1+a2-2+ B2+a-B+a (n+1)a,当a=B B-a ,当a≠B 法2:把原行列式表示为下述形式: (a+β)(a+0)(0+0) (0+0)(0+0) 0+1)(a+β)(aB+0)…(0+0)(0+0) (0+0)(0+1)(a+B)…(0+0)(0+0) (a+β)(a+0 〔0+0)(0+0)(0+0)…(0+1)(a+月 再利用行列式性质3(将D.表示为2个n阶行列式之和(如例 4那样),其中每一列是行列式②中该列的两个子列之一.容易看 出,每一列的第二子列与下一列的第一子列成比例,因此,在2 个行列式中不为0的只有n+1个,即各列都选第一子列,或者由 第列起以后都选第二子列(i=n,n-1,…1),而前(-1)列都选 第一子列,也得 Dn=a+"-1B+a-2B2+…+a-1+P 例9证明范德蒙( Vandermonde)行列式 1≤i 其中连乘积 19
)= ) )·(x3 1 是满足条件1≤j诞n的所有因子(x;-x)的乘积 证用数学归纳法证明.当n=2时 结论成立,假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立,下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立 在v,中,从第n行起,依次将前一行乘-x1加到后一行,得 0 v (x 按第一列展开,并分别提取公因子,得 )… 2 上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式,根据归纳假设得 故 1≤ji 例10证明 20
D=a41aA2…a40…0 C C b Cn b b (1.20) b b 证记 b 22 A ,1B b, a 对|A的阶数k作数学归纳法.当k=1时,对D的第一行展 开,得D=a1B|=41B!〔这里a11是一阶行列式),(1.20)式 成立.假设|A为k-1阶时,(1.20)式成立.下面考虑|A|为k 阶的情形:此时,将D对第一行展开,得 D=a1(-1)+M+a12(-1)+aM2+…+a18(-1)+M, 其中M是a1在D中的余子式(j=1,2,…,k)·显然M也是 (1.20)式类型的行列式,而且它的左上角是k-1阶的,根据归纳 假设 =M11B k 其中M1是a在|A中的余子式将②式代入①式,即得